Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27288 / 42622
↖ ↑ ↗
← S 47.509780°
W 30.102539°		 ← 412.57 m → S 47.509780°
W 30.097046°		 →
↑
412.59 m
↓
↑
412.59 m
↓
S 47.513491°
W 30.102539°		 ← 412.54 m →
170 213 m²		 S 47.513491°
W 30.097046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416389465332031 y=0.650367736816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416389465332031 × 216)
    floor (0.416389465332031 × 65536)
    floor (27288.5)     		tx = 27288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650367736816406 × 216)
    floor (0.650367736816406 × 65536)
    floor (42622.5)     		ty = 42622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27288 / 42622 ti = "16/27288/42622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27288/42622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27288 ÷ 216
    27288 ÷ 65536     		x = 0.4163818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42622 ÷ 216
    42622 ÷ 65536     		y = 0.650360107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4163818359375 × 2 - 1) × π
    -0.167236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52538842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650360107421875 × 2 - 1) × π
    -0.30072021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.944740417712067
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52538842} λ = -0.52538842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.944740417712067))-π/2
    2×atan(0.388780478330365)-π/2
    2×0.370797116407226-π/2
    0.741594232814452-1.57079632675     		φ = -0.82920209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52538842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.102539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82920209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.509780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27288 KachelY 42622 -0.52538842 -0.82920209 -30.102539 -47.509780
    Oben rechts KachelX + 1 27289 KachelY 42622 -0.52529255 -0.82920209 -30.097046 -47.509780
    Unten links KachelX 27288 KachelY + 1 42623 -0.52538842 -0.82926685 -30.102539 -47.513491
    Unten rechts KachelX + 1 27289 KachelY + 1 42623 -0.52529255 -0.82926685 -30.097046 -47.513491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82920209--0.82926685) × R
    6.4759999999997e-05 × 6371000     		dl = 412.585959999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82920209--0.82926685) × R
    6.4759999999997e-05 × 6371000     		dr = 412.585959999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52538842--0.52529255) × cos(-0.82920209) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.675464347995798 × 6371000     		do = 412.565362826848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52538842--0.52529255) × cos(-0.82926685) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.675416593031666 × 6371000     		du = 412.5361946788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82920209)-sin(-0.82926685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675464347995798-0.675416593031666)×R²
    abs(-0.52529255--0.52538842)×4.77549641315633e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77549641315633e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77549641315633e-05×40589641000000     		ar = 170212.659159874m²