Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27286 / 7642
↖ ↑ ↗
← N 79.724486°
W 30.113526°		 ← 108.96 m → N 79.724486°
W 30.108032°		 →
↑
108.94 m
↓
↑
108.94 m
↓
N 79.723507°
W 30.113526°		 ← 108.98 m →
11 872 m²		 N 79.723507°
W 30.108032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416358947753906 y=0.116615295410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416358947753906 × 216)
    floor (0.416358947753906 × 65536)
    floor (27286.5)     		tx = 27286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116615295410156 × 216)
    floor (0.116615295410156 × 65536)
    floor (7642.5)     		ty = 7642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27286 / 7642 ti = "16/27286/7642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27286/7642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27286 ÷ 216
    27286 ÷ 65536     		x = 0.416351318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7642 ÷ 216
    7642 ÷ 65536     		y = 0.116607666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416351318359375 × 2 - 1) × π
    -0.16729736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52558017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116607666015625 × 2 - 1) × π
    0.76678466796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.40892507970706
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52558017} λ = -0.52558017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40892507970706))-π/2
    2×atan(11.1219994543735)-π/2
    2×1.48112555457951-π/2
    2.96225110915902-1.57079632675     		φ = 1.39145478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52558017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.113526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39145478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.724486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27286 KachelY 7642 -0.52558017 1.39145478 -30.113526 79.724486
    Oben rechts KachelX + 1 27287 KachelY 7642 -0.52548429 1.39145478 -30.108032 79.724486
    Unten links KachelX 27286 KachelY + 1 7643 -0.52558017 1.39143768 -30.113526 79.723507
    Unten rechts KachelX + 1 27287 KachelY + 1 7643 -0.52548429 1.39143768 -30.108032 79.723507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39145478-1.39143768) × R
    1.70999999999921e-05 × 6371000     		dl = 108.94409999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39145478-1.39143768) × R
    1.70999999999921e-05 × 6371000     		dr = 108.94409999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52558017--0.52548429) × cos(1.39145478) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.178381719629713 × 6371000     		do = 108.96473744081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52558017--0.52548429) × cos(1.39143768) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.178398545342924 × 6371000     		du = 108.975015452627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39145478)-sin(1.39143768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178381719629713-0.178398545342924)×R²
    abs(-0.52548429--0.52558017)×1.68257132107663e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.68257132107663e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.68257132107663e-05×40589641000000     		ar = 11871.6251168733m²