Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27286 / 42620
↖ ↑ ↗
← S 47.502359°
W 30.113526°		 ← 412.67 m → S 47.502359°
W 30.108032°		 →
↑
412.59 m
↓
↑
412.59 m
↓
S 47.506070°
W 30.113526°		 ← 412.64 m →
170 254 m²		 S 47.506070°
W 30.108032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416358947753906 y=0.650337219238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416358947753906 × 216)
    floor (0.416358947753906 × 65536)
    floor (27286.5)     		tx = 27286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650337219238281 × 216)
    floor (0.650337219238281 × 65536)
    floor (42620.5)     		ty = 42620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27286 / 42620 ti = "16/27286/42620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27286/42620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27286 ÷ 216
    27286 ÷ 65536     		x = 0.416351318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42620 ÷ 216
    42620 ÷ 65536     		y = 0.65032958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416351318359375 × 2 - 1) × π
    -0.16729736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52558017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65032958984375 × 2 - 1) × π
    -0.3006591796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.944548670113586
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52558017} λ = -0.52558017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.944548670113586))-π/2
    2×atan(0.388855033201051)-π/2
    2×0.37086188031854-π/2
    0.74172376063708-1.57079632675     		φ = -0.82907257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52558017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.113526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82907257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.502359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27286 KachelY 42620 -0.52558017 -0.82907257 -30.113526 -47.502359
    Oben rechts KachelX + 1 27287 KachelY 42620 -0.52548429 -0.82907257 -30.108032 -47.502359
    Unten links KachelX 27286 KachelY + 1 42621 -0.52558017 -0.82913733 -30.113526 -47.506070
    Unten rechts KachelX + 1 27287 KachelY + 1 42621 -0.52548429 -0.82913733 -30.108032 -47.506070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82907257--0.82913733) × R
    6.4759999999997e-05 × 6371000     		dl = 412.585959999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82907257--0.82913733) × R
    6.4759999999997e-05 × 6371000     		dr = 412.585959999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52558017--0.52548429) × cos(-0.82907257) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.675559849425457 × 6371000     		do = 412.666733850325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52558017--0.52548429) × cos(-0.82913733) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.675512100127128 × 6371000     		du = 412.637566120772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82907257)-sin(-0.82913733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675559849425457-0.675512100127128)×R²
    abs(-0.52548429--0.52558017)×4.77492983287364e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.77492983287364e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.77492983287364e-05×40589641000000     		ar = 170254.48350736m²