Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27285 / 6859
N 80.464060°
W 30.119018°
← 101.19 m → N 80.464060°
W 30.113526°

101.17 m

101.17 m
N 80.463150°
W 30.119018°
← 101.20 m →
10 238 m²
N 80.463150°
W 30.113526°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416343688964844 y=0.104667663574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416343688964844 × 216)
    floor (0.416343688964844 × 65536)
    floor (27285.5)
    tx = 27285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104667663574219 × 216)
    floor (0.104667663574219 × 65536)
    floor (6859.5)
    ty = 6859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27285 / 6859 ti = "16/27285/6859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27285/6859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27285 ÷ 216
    27285 ÷ 65536
    x = 0.416336059570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6859 ÷ 216
    6859 ÷ 65536
    y = 0.104660034179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.416336059570312 × 2 - 1) × π
    -0.167327880859375 × 3.1415926535
    Λ = -0.52567604
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.104660034179688 × 2 - 1) × π
    0.790679931640625 × 3.1415926535
    Φ = 2.48399426451207
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52567604} λ = -0.52567604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48399426451207))-π/2
    2×atan(11.9890563698515)-π/2
    2×1.48757955317862-π/2
    2.97515910635724-1.57079632675
    φ = 1.40436278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52567604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.119018°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40436278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.464060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27285 KachelY 6859 -0.52567604 1.40436278 -30.119018 80.464060
    Oben rechts KachelX + 1 27286 KachelY 6859 -0.52558017 1.40436278 -30.113526 80.464060
    Unten links KachelX 27285 KachelY + 1 6860 -0.52567604 1.40434690 -30.119018 80.463150
    Unten rechts KachelX + 1 27286 KachelY + 1 6860 -0.52558017 1.40434690 -30.113526 80.463150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.40436278-1.40434690) × R
    1.58800000000792e-05 × 6371000
    dl = 101.171480000504m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.40436278-1.40434690) × R
    1.58800000000792e-05 × 6371000
    dr = 101.171480000504m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52567604--0.52558017) × cos(1.40436278) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.165666238604006 × 6371000
    do = 101.186912441227m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52567604--0.52558017) × cos(1.40434690) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.165681899151347 × 6371000
    du = 101.196477712014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.40436278)-sin(1.40434690))×
    abs(λ12)×abs(0.165666238604006-0.165681899151347)×
    abs(-0.52558017--0.52567604)×1.566054734084e-05×
    9.58699999999979e-05×1.566054734084e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.566054734084e-05×40589641000000
    ar = 10237.7135547695m²