Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27281 / 7641
↖ ↑ ↗
← N 79.725466°
W 30.140991°		 ← 108.95 m → N 79.725466°
W 30.135498°		 →
↑
108.94 m
↓
↑
108.94 m
↓
N 79.724486°
W 30.140991°		 ← 108.96 m →
11 871 m²		 N 79.724486°
W 30.135498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416282653808594 y=0.116600036621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416282653808594 × 216)
    floor (0.416282653808594 × 65536)
    floor (27281.5)     		tx = 27281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116600036621094 × 216)
    floor (0.116600036621094 × 65536)
    floor (7641.5)     		ty = 7641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27281 / 7641 ti = "16/27281/7641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27281/7641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27281 ÷ 216
    27281 ÷ 65536     		x = 0.416275024414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7641 ÷ 216
    7641 ÷ 65536     		y = 0.116592407226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416275024414062 × 2 - 1) × π
    -0.167449951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52605954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116592407226562 × 2 - 1) × π
    0.766815185546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.4090209535063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52605954} λ = -0.52605954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4090209535063))-π/2
    2×atan(11.1230658138335)-π/2
    2×1.48113410524266-π/2
    2.96226821048532-1.57079632675     		φ = 1.39147188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52605954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.140991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39147188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.725466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27281 KachelY 7641 -0.52605954 1.39147188 -30.140991 79.725466
    Oben rechts KachelX + 1 27282 KachelY 7641 -0.52596366 1.39147188 -30.135498 79.725466
    Unten links KachelX 27281 KachelY + 1 7642 -0.52605954 1.39145478 -30.140991 79.724486
    Unten rechts KachelX + 1 27282 KachelY + 1 7642 -0.52596366 1.39145478 -30.135498 79.724486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39147188-1.39145478) × R
    1.71000000002142e-05 × 6371000     		dl = 108.944100001364m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39147188-1.39145478) × R
    1.71000000002142e-05 × 6371000     		dr = 108.944100001364m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52605954--0.52596366) × cos(1.39147188) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.178364893864341 × 6371000     		do = 108.954459397004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52605954--0.52596366) × cos(1.39145478) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.178381719629713 × 6371000     		du = 108.964737440684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39147188)-sin(1.39145478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178364893864341-0.178381719629713)×R²
    abs(-0.52596366--0.52605954)×1.68257653715698e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.68257653715698e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.68257653715698e-05×40589641000000     		ar = 11870.5053866566m²