Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27281 / 7633
↖ ↑ ↗
← N 79.733302°
W 30.140991°		 ← 108.87 m → N 79.733302°
W 30.135498°		 →
↑
108.88 m
↓
↑
108.88 m
↓
N 79.732323°
W 30.140991°		 ← 108.88 m →
11 855 m²		 N 79.732323°
W 30.135498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416282653808594 y=0.116477966308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416282653808594 × 216)
    floor (0.416282653808594 × 65536)
    floor (27281.5)     		tx = 27281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116477966308594 × 216)
    floor (0.116477966308594 × 65536)
    floor (7633.5)     		ty = 7633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27281 / 7633 ti = "16/27281/7633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27281/7633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27281 ÷ 216
    27281 ÷ 65536     		x = 0.416275024414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7633 ÷ 216
    7633 ÷ 65536     		y = 0.116470336914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416275024414062 × 2 - 1) × π
    -0.167449951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52605954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116470336914062 × 2 - 1) × π
    0.767059326171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.40978794390022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52605954} λ = -0.52605954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40978794390022))-π/2
    2×atan(11.1316003710069)-π/2
    2×1.48120248151643-π/2
    2.96240496303285-1.57079632675     		φ = 1.39160864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52605954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.140991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39160864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.733302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27281 KachelY 7633 -0.52605954 1.39160864 -30.140991 79.733302
    Oben rechts KachelX + 1 27282 KachelY 7633 -0.52596366 1.39160864 -30.135498 79.733302
    Unten links KachelX 27281 KachelY + 1 7634 -0.52605954 1.39159155 -30.140991 79.732323
    Unten rechts KachelX + 1 27282 KachelY + 1 7634 -0.52596366 1.39159155 -30.135498 79.732323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39160864-1.39159155) × R
    1.70900000000529e-05 × 6371000     		dl = 108.880390000337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39160864-1.39159155) × R
    1.70900000000529e-05 × 6371000     		dr = 108.880390000337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52605954--0.52596366) × cos(1.39160864) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.178230325223732 × 6371000     		do = 108.872257943726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52605954--0.52596366) × cos(1.39159155) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.178247141566231 × 6371000     		du = 108.88253023143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39160864)-sin(1.39159155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178230325223732-0.178247141566231)×R²
    abs(-0.52596366--0.52605954)×1.68163424996703e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.68163424996703e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.68163424996703e-05×40589641000000     		ar = 11854.6131308646m²