Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27280 / 6865
↖ ↑ ↗
← N 80.458598°
W 30.146484°		 ← 101.24 m → N 80.458598°
W 30.140991°		 →
↑
101.24 m
↓
↑
101.24 m
↓
N 80.457688°
W 30.146484°		 ← 101.25 m →
10 250 m²		 N 80.457688°
W 30.140991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416267395019531 y=0.104759216308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416267395019531 × 216)
    floor (0.416267395019531 × 65536)
    floor (27280.5)     		tx = 27280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104759216308594 × 216)
    floor (0.104759216308594 × 65536)
    floor (6865.5)     		ty = 6865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27280 / 6865 ti = "16/27280/6865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27280/6865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27280 ÷ 216
    27280 ÷ 65536     		x = 0.416259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6865 ÷ 216
    6865 ÷ 65536     		y = 0.104751586914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416259765625 × 2 - 1) × π
    -0.16748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52615541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104751586914062 × 2 - 1) × π
    0.790496826171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.48341902171663
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52615541} λ = -0.52615541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48341902171663))-π/2
    2×atan(11.9821617347853)-π/2
    2×1.48753189050537-π/2
    2.97506378101073-1.57079632675     		φ = 1.40426745
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52615541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.146484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40426745 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.458598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27280 KachelY 6865 -0.52615541 1.40426745 -30.146484 80.458598
    Oben rechts KachelX + 1 27281 KachelY 6865 -0.52605954 1.40426745 -30.140991 80.458598
    Unten links KachelX 27280 KachelY + 1 6866 -0.52615541 1.40425156 -30.146484 80.457688
    Unten rechts KachelX + 1 27281 KachelY + 1 6866 -0.52605954 1.40425156 -30.140991 80.457688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40426745-1.40425156) × R
    1.58900000000184e-05 × 6371000     		dl = 101.235190000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40426745-1.40425156) × R
    1.58900000000184e-05 × 6371000     		dr = 101.235190000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52615541--0.52605954) × cos(1.40426745) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.165760250569565 × 6371000     		do = 101.244333800024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52615541--0.52605954) × cos(1.40425156) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.165775920727665 × 6371000     		du = 101.253904940945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40426745)-sin(1.40425156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165760250569565-0.165775920727665)×R²
    abs(-0.52605954--0.52615541)×1.56701581000007e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.56701581000007e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.56701581000007e-05×40589641000000     		ar = 10249.9738369341m²