Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2728 / 1048
↖ ↑ ↗
← N 82.608754°
W120.058594°		 ← 314.31 m → N 82.608754°
W120.036621°		 →
↑
314.41 m
↓
↑
314.41 m
↓
N 82.605927°
W120.058594°		 ← 314.43 m →
98 842 m²		 N 82.605927°
W120.036621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166534423828125 y=0.063995361328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166534423828125 × 214)
    floor (0.166534423828125 × 16384)
    floor (2728.5)     		tx = 2728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.063995361328125 × 214)
    floor (0.063995361328125 × 16384)
    floor (1048.5)     		ty = 1048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2728 / 1048 ti = "14/2728/1048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2728/1048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2728 ÷ 214
    2728 ÷ 16384     		x = 0.16650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1048 ÷ 214
    1048 ÷ 16384     		y = 0.06396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16650390625 × 2 - 1) × π
    -0.6669921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.09541776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06396484375 × 2 - 1) × π
    0.8720703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.73968968708545
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09541776} λ = -2.09541776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.73968968708545))-π/2
    2×atan(15.4821800304326)-π/2
    2×1.50629553754476-π/2
    3.01259107508952-1.57079632675     		φ = 1.44179475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09541776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.058594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44179475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.608754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2728 KachelY 1048 -2.09541776 1.44179475 -120.058594 82.608754
    Oben rechts KachelX + 1 2729 KachelY 1048 -2.09503426 1.44179475 -120.036621 82.608754
    Unten links KachelX 2728 KachelY + 1 1049 -2.09541776 1.44174540 -120.058594 82.605927
    Unten rechts KachelX + 1 2729 KachelY + 1 1049 -2.09503426 1.44174540 -120.036621 82.605927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44179475-1.44174540) × R
    4.9349999999837e-05 × 6371000     		dl = 314.408849998962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44179475-1.44174540) × R
    4.9349999999837e-05 × 6371000     		dr = 314.408849998962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09541776--2.09503426) × cos(1.44179475) × R
    0.000383500000000314 × 0.128644079767373 × 6371000     		do = 314.313314248165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09541776--2.09503426) × cos(1.44174540) × R
    0.000383500000000314 × 0.128693019553123 × 6371000     		du = 314.432887774483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44179475)-sin(1.44174540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.128644079767373-0.128693019553123)×R²
    abs(-2.09503426--2.09541776)×4.8939785750185e-05×R²
    0.000383500000000314×4.8939785750185e-05×6371000²
    0.000383500000000314×4.8939785750185e-05×40589641000000     		ar = 98841.6851799095m²