Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27278 / 6868
↖ ↑ ↗
← N 80.455866°
W 30.157471°		 ← 101.28 m → N 80.455866°
W 30.151977°		 →
↑
101.30 m
↓
↑
101.30 m
↓
N 80.454955°
W 30.157471°		 ← 101.29 m →
10 260 m²		 N 80.454955°
W 30.151977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416236877441406 y=0.104804992675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416236877441406 × 216)
    floor (0.416236877441406 × 65536)
    floor (27278.5)     		tx = 27278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104804992675781 × 216)
    floor (0.104804992675781 × 65536)
    floor (6868.5)     		ty = 6868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27278 / 6868 ti = "16/27278/6868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27278/6868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27278 ÷ 216
    27278 ÷ 65536     		x = 0.416229248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6868 ÷ 216
    6868 ÷ 65536     		y = 0.10479736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416229248046875 × 2 - 1) × π
    -0.16754150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52634716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10479736328125 × 2 - 1) × π
    0.7904052734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.48313140031891
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52634716} λ = -0.52634716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48313140031891))-π/2
    2×atan(11.9787159042505)-π/2
    2×1.48750804902743-π/2
    2.97501609805486-1.57079632675     		φ = 1.40421977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52634716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.157471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40421977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.455866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27278 KachelY 6868 -0.52634716 1.40421977 -30.157471 80.455866
    Oben rechts KachelX + 1 27279 KachelY 6868 -0.52625128 1.40421977 -30.151977 80.455866
    Unten links KachelX 27278 KachelY + 1 6869 -0.52634716 1.40420387 -30.157471 80.454955
    Unten rechts KachelX + 1 27279 KachelY + 1 6869 -0.52625128 1.40420387 -30.151977 80.454955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40421977-1.40420387) × R
    1.59000000001797e-05 × 6371000     		dl = 101.298900001145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40421977-1.40420387) × R
    1.59000000001797e-05 × 6371000     		dr = 101.298900001145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52634716--0.52625128) × cos(1.40421977) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.165807270779871 × 6371000     		do = 101.283616750696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52634716--0.52625128) × cos(1.40420387) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.165822950673917 × 6371000     		du = 101.29319483718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40421977)-sin(1.40420387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165807270779871-0.165822950673917)×R²
    abs(-0.52625128--0.52634716)×1.56798940460223e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.56798940460223e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.56798940460223e-05×40589641000000     		ar = 10260.4040900905m²