Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27278 / 42621
↖ ↑ ↗
← S 47.506070°
W 30.157471°		 ← 412.64 m → S 47.506070°
W 30.151977°		 →
↑
412.59 m
↓
↑
412.59 m
↓
S 47.509780°
W 30.157471°		 ← 412.61 m →
170 242 m²		 S 47.509780°
W 30.151977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416236877441406 y=0.650352478027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416236877441406 × 216)
    floor (0.416236877441406 × 65536)
    floor (27278.5)     		tx = 27278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650352478027344 × 216)
    floor (0.650352478027344 × 65536)
    floor (42621.5)     		ty = 42621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27278 / 42621 ti = "16/27278/42621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27278/42621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27278 ÷ 216
    27278 ÷ 65536     		x = 0.416229248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42621 ÷ 216
    42621 ÷ 65536     		y = 0.650344848632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416229248046875 × 2 - 1) × π
    -0.16754150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52634716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650344848632812 × 2 - 1) × π
    -0.300689697265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.944644543912827
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52634716} λ = -0.52634716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.944644543912827))-π/2
    2×atan(0.388817753978743)-π/2
    2×0.370829497218303-π/2
    0.741658994436607-1.57079632675     		φ = -0.82913733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52634716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.157471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82913733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.506070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27278 KachelY 42621 -0.52634716 -0.82913733 -30.157471 -47.506070
    Oben rechts KachelX + 1 27279 KachelY 42621 -0.52625128 -0.82913733 -30.151977 -47.506070
    Unten links KachelX 27278 KachelY + 1 42622 -0.52634716 -0.82920209 -30.157471 -47.509780
    Unten rechts KachelX + 1 27279 KachelY + 1 42622 -0.52625128 -0.82920209 -30.151977 -47.509780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82913733--0.82920209) × R
    6.4759999999997e-05 × 6371000     		dl = 412.585959999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82913733--0.82920209) × R
    6.4759999999997e-05 × 6371000     		dr = 412.585959999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52634716--0.52625128) × cos(-0.82913733) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.675512100127128 × 6371000     		do = 412.637566120772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52634716--0.52625128) × cos(-0.82920209) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.675464347995798 × 6371000     		du = 412.608396660675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82913733)-sin(-0.82920209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675512100127128-0.675464347995798)×R²
    abs(-0.52625128--0.52634716)×4.77521313302365e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.77521313302365e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.77521313302365e-05×40589641000000     		ar = 170242.448954726m²