Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27277 / 6381
↖ ↑ ↗
← N 80.889368°
W 30.162964°		 ← 96.71 m → N 80.889368°
W 30.157471°		 →
↑
96.71 m
↓
↑
96.71 m
↓
N 80.888498°
W 30.162964°		 ← 96.72 m →
9 354 m²		 N 80.888498°
W 30.157471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416221618652344 y=0.0973739624023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416221618652344 × 216)
    floor (0.416221618652344 × 65536)
    floor (27277.5)     		tx = 27277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0973739624023438 × 216)
    floor (0.0973739624023438 × 65536)
    floor (6381.5)     		ty = 6381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27277 / 6381 ti = "16/27277/6381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27277/6381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27277 ÷ 216
    27277 ÷ 65536     		x = 0.416213989257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6381 ÷ 216
    6381 ÷ 65536     		y = 0.0973663330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416213989257812 × 2 - 1) × π
    -0.167572021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.52644303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0973663330078125 × 2 - 1) × π
    0.805267333984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.52982194054884
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52644303} λ = -0.52644303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52982194054884))-π/2
    2×atan(12.5512710652491)-π/2
    2×1.49129106573266-π/2
    2.98258213146533-1.57079632675     		φ = 1.41178580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52644303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.162964°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41178580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.889368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27277 KachelY 6381 -0.52644303 1.41178580 -30.162964 80.889368
    Oben rechts KachelX + 1 27278 KachelY 6381 -0.52634716 1.41178580 -30.157471 80.889368
    Unten links KachelX 27277 KachelY + 1 6382 -0.52644303 1.41177062 -30.162964 80.888498
    Unten rechts KachelX + 1 27278 KachelY + 1 6382 -0.52634716 1.41177062 -30.157471 80.888498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41178580-1.41177062) × R
    1.51800000001145e-05 × 6371000     		dl = 96.7117800007298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41178580-1.41177062) × R
    1.51800000001145e-05 × 6371000     		dr = 96.7117800007298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52644303--0.52634716) × cos(1.41178580) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158341293838581 × 6371000     		do = 96.7129257625794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52644303--0.52634716) × cos(1.41177062) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158356282316154 × 6371000     		du = 96.7220805413719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41178580)-sin(1.41177062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158341293838581-0.158356282316154)×R²
    abs(-0.52634716--0.52644303)×1.49884775730025e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.49884775730025e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.49884775730025e-05×40589641000000     		ar = 9353.72188704074m²