Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27276 / 7524
↖ ↑ ↗
← N 79.839471°
W 30.168457°		 ← 107.76 m → N 79.839471°
W 30.162964°		 →
↑
107.73 m
↓
↑
107.73 m
↓
N 79.838502°
W 30.168457°		 ← 107.77 m →
11 610 m²		 N 79.838502°
W 30.162964°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416206359863281 y=0.114814758300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416206359863281 × 216)
    floor (0.416206359863281 × 65536)
    floor (27276.5)     		tx = 27276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114814758300781 × 216)
    floor (0.114814758300781 × 65536)
    floor (7524.5)     		ty = 7524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27276 / 7524 ti = "16/27276/7524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27276/7524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27276 ÷ 216
    27276 ÷ 65536     		x = 0.41619873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7524 ÷ 216
    7524 ÷ 65536     		y = 0.11480712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41619873046875 × 2 - 1) × π
    -0.1676025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52653891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11480712890625 × 2 - 1) × π
    0.7703857421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.42023818801739
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52653891} λ = -0.52653891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42023818801739))-π/2
    2×atan(11.2485382628499)-π/2
    2×1.4821289844621-π/2
    2.9642579689242-1.57079632675     		φ = 1.39346164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52653891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.168457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39346164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.839471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27276 KachelY 7524 -0.52653891 1.39346164 -30.168457 79.839471
    Oben rechts KachelX + 1 27277 KachelY 7524 -0.52644303 1.39346164 -30.162964 79.839471
    Unten links KachelX 27276 KachelY + 1 7525 -0.52653891 1.39344473 -30.168457 79.838502
    Unten rechts KachelX + 1 27277 KachelY + 1 7525 -0.52644303 1.39344473 -30.162964 79.838502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39346164-1.39344473) × R
    1.69100000000366e-05 × 6371000     		dl = 107.733610000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39346164-1.39344473) × R
    1.69100000000366e-05 × 6371000     		dr = 107.733610000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52653891--0.52644303) × cos(1.39346164) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.176406689041154 × 6371000     		do = 107.758287082618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52653891--0.52644303) × cos(1.39344473) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.176423333822617 × 6371000     		du = 107.768454572009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39346164)-sin(1.39344473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176406689041154-0.176423333822617)×R²
    abs(-0.52644303--0.52653891)×1.66447814629322e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.66447814629322e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.66447814629322e-05×40589641000000     		ar = 11609.7369649734m²