Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27275 / 6378
↖ ↑ ↗
← N 80.891977°
W 30.173950°		 ← 96.69 m → N 80.891977°
W 30.168457°		 →
↑
96.71 m
↓
↑
96.71 m
↓
N 80.891107°
W 30.173950°		 ← 96.69 m →
9 351 m²		 N 80.891107°
W 30.168457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416191101074219 y=0.0973281860351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416191101074219 × 216)
    floor (0.416191101074219 × 65536)
    floor (27275.5)     		tx = 27275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0973281860351562 × 216)
    floor (0.0973281860351562 × 65536)
    floor (6378.5)     		ty = 6378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27275 / 6378 ti = "16/27275/6378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27275/6378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27275 ÷ 216
    27275 ÷ 65536     		x = 0.416183471679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6378 ÷ 216
    6378 ÷ 65536     		y = 0.097320556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416183471679688 × 2 - 1) × π
    -0.167633056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52663478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.097320556640625 × 2 - 1) × π
    0.80535888671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.53010956194656
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52663478} λ = -0.52663478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53010956194656))-π/2
    2×atan(12.5548815985845)-π/2
    2×1.491313833671-π/2
    2.982627667342-1.57079632675     		φ = 1.41183134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52663478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.173950°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41183134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.891977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27275 KachelY 6378 -0.52663478 1.41183134 -30.173950 80.891977
    Oben rechts KachelX + 1 27276 KachelY 6378 -0.52653891 1.41183134 -30.168457 80.891977
    Unten links KachelX 27275 KachelY + 1 6379 -0.52663478 1.41181616 -30.173950 80.891107
    Unten rechts KachelX + 1 27276 KachelY + 1 6379 -0.52653891 1.41181616 -30.168457 80.891107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41183134-1.41181616) × R
    1.51799999998925e-05 × 6371000     		dl = 96.7117799993151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41183134-1.41181616) × R
    1.51799999998925e-05 × 6371000     		dr = 96.7117799993151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52663478--0.52653891) × cos(1.41183134) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158296328186954 × 6371000     		do = 96.6854612924957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52663478--0.52653891) × cos(1.41181616) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158311316773977 × 6371000     		du = 96.6946161381392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41183134)-sin(1.41181616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158296328186954-0.158311316773977)×R²
    abs(-0.52653891--0.52663478)×1.49885870233402e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.49885870233402e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.49885870233402e-05×40589641000000     		ar = 9351.06575244157m²