Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27273 / 7522
↖ ↑ ↗
← N 79.841409°
W 30.184937°		 ← 107.74 m → N 79.841409°
W 30.179443°		 →
↑
107.73 m
↓
↑
107.73 m
↓
N 79.840440°
W 30.184937°		 ← 107.75 m →
11 608 m²		 N 79.840440°
W 30.179443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416160583496094 y=0.114784240722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416160583496094 × 216)
    floor (0.416160583496094 × 65536)
    floor (27273.5)     		tx = 27273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114784240722656 × 216)
    floor (0.114784240722656 × 65536)
    floor (7522.5)     		ty = 7522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27273 / 7522 ti = "16/27273/7522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27273/7522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27273 ÷ 216
    27273 ÷ 65536     		x = 0.416152954101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7522 ÷ 216
    7522 ÷ 65536     		y = 0.114776611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416152954101562 × 2 - 1) × π
    -0.167694091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52682653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114776611328125 × 2 - 1) × π
    0.77044677734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.42042993561588
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52682653} λ = -0.52682653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42042993561588))-π/2
    2×atan(11.2506953498498)-π/2
    2×1.48214589564542-π/2
    2.96429179129085-1.57079632675     		φ = 1.39349546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52682653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.184937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39349546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.841409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27273 KachelY 7522 -0.52682653 1.39349546 -30.184937 79.841409
    Oben rechts KachelX + 1 27274 KachelY 7522 -0.52673065 1.39349546 -30.179443 79.841409
    Unten links KachelX 27273 KachelY + 1 7523 -0.52682653 1.39347855 -30.184937 79.840440
    Unten rechts KachelX + 1 27274 KachelY + 1 7523 -0.52673065 1.39347855 -30.179443 79.840440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39349546-1.39347855) × R
    1.69100000000366e-05 × 6371000     		dl = 107.733610000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39349546-1.39347855) × R
    1.69100000000366e-05 × 6371000     		dr = 107.733610000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52682653--0.52673065) × cos(1.39349546) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.176373399326904 × 6371000     		do = 107.737952011524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52682653--0.52673065) × cos(1.39347855) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.176390044209248 × 6371000     		du = 107.748119562539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39349546)-sin(1.39347855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176373399326904-0.176390044209248)×R²
    abs(-0.52673065--0.52682653)×1.66448823444854e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.66448823444854e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.66448823444854e-05×40589641000000     		ar = 11607.5461979331m²