Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27272 / 6376
↖ ↑ ↗
← N 80.893716°
W 30.190430°		 ← 96.67 m → N 80.893716°
W 30.184937°		 →
↑
96.65 m
↓
↑
96.65 m
↓
N 80.892847°
W 30.190430°		 ← 96.68 m →
9 343 m²		 N 80.892847°
W 30.184937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416145324707031 y=0.0972976684570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416145324707031 × 216)
    floor (0.416145324707031 × 65536)
    floor (27272.5)     		tx = 27272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0972976684570312 × 216)
    floor (0.0972976684570312 × 65536)
    floor (6376.5)     		ty = 6376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27272 / 6376 ti = "16/27272/6376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27272/6376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27272 ÷ 216
    27272 ÷ 65536     		x = 0.4161376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6376 ÷ 216
    6376 ÷ 65536     		y = 0.0972900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4161376953125 × 2 - 1) × π
    -0.167724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.52692240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0972900390625 × 2 - 1) × π
    0.805419921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.53030130954504
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52692240} λ = -0.52692240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53030130954504))-π/2
    2×atan(12.5572891977986)-π/2
    2×1.49132900870474-π/2
    2.98265801740949-1.57079632675     		φ = 1.41186169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52692240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.190430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41186169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.893716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27272 KachelY 6376 -0.52692240 1.41186169 -30.190430 80.893716
    Oben rechts KachelX + 1 27273 KachelY 6376 -0.52682653 1.41186169 -30.184937 80.893716
    Unten links KachelX 27272 KachelY + 1 6377 -0.52692240 1.41184652 -30.190430 80.892847
    Unten rechts KachelX + 1 27273 KachelY + 1 6377 -0.52682653 1.41184652 -30.184937 80.892847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41186169-1.41184652) × R
    1.51699999999533e-05 × 6371000     		dl = 96.6480699997023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41186169-1.41184652) × R
    1.51699999999533e-05 × 6371000     		dr = 96.6480699997023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52692240--0.52682653) × cos(1.41186169) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158266360777445 × 6371000     		do = 96.6671575652692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52692240--0.52682653) × cos(1.41184652) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158281339563454 × 6371000     		du = 96.6763064245727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41186169)-sin(1.41184652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158266360777445-0.158281339563454)×R²
    abs(-0.52682653--0.52692240)×1.49787860085904e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.49787860085904e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.49787860085904e-05×40589641000000     		ar = 9343.1363206914m²