Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27270 / 7553
↖ ↑ ↗
← N 79.811331°
W 30.201416°		 ← 108.05 m → N 79.811331°
W 30.195923°		 →
↑
108.05 m
↓
↑
108.05 m
↓
N 79.810359°
W 30.201416°		 ← 108.06 m →
11 676 m²		 N 79.810359°
W 30.195923°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416114807128906 y=0.115257263183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416114807128906 × 216)
    floor (0.416114807128906 × 65536)
    floor (27270.5)     		tx = 27270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115257263183594 × 216)
    floor (0.115257263183594 × 65536)
    floor (7553.5)     		ty = 7553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27270 / 7553 ti = "16/27270/7553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27270/7553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27270 ÷ 216
    27270 ÷ 65536     		x = 0.416107177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7553 ÷ 216
    7553 ÷ 65536     		y = 0.115249633789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416107177734375 × 2 - 1) × π
    -0.16778564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52711415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115249633789062 × 2 - 1) × π
    0.769500732421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.41745784783943
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52711415} λ = -0.52711415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41745784783943))-π/2
    2×atan(11.2173069369484)-π/2
    2×1.48188341329367-π/2
    2.96376682658734-1.57079632675     		φ = 1.39297050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52711415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.201416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39297050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.811331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27270 KachelY 7553 -0.52711415 1.39297050 -30.201416 79.811331
    Oben rechts KachelX + 1 27271 KachelY 7553 -0.52701827 1.39297050 -30.195923 79.811331
    Unten links KachelX 27270 KachelY + 1 7554 -0.52711415 1.39295354 -30.201416 79.810359
    Unten rechts KachelX + 1 27271 KachelY + 1 7554 -0.52701827 1.39295354 -30.195923 79.810359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39297050-1.39295354) × R
    1.69599999999548e-05 × 6371000     		dl = 108.052159999712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39297050-1.39295354) × R
    1.69599999999548e-05 × 6371000     		dr = 108.052159999712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52711415--0.52701827) × cos(1.39297050) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.176890105377339 × 6371000     		do = 108.053582667033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52711415--0.52701827) × cos(1.39295354) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.176906797903017 × 6371000     		du = 108.063779321048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39297050)-sin(1.39295354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176890105377339-0.176906797903017)×R²
    abs(-0.52701827--0.52711415)×1.66925256780692e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.66925256780692e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.66925256780692e-05×40589641000000     		ar = 11675.9738880883m²