Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27270 / 7525
↖ ↑ ↗
← N 79.838502°
W 30.201416°		 ← 107.77 m → N 79.838502°
W 30.195923°		 →
↑
107.80 m
↓
↑
107.80 m
↓
N 79.837533°
W 30.201416°		 ← 107.78 m →
11 618 m²		 N 79.837533°
W 30.195923°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416114807128906 y=0.114830017089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416114807128906 × 216)
    floor (0.416114807128906 × 65536)
    floor (27270.5)     		tx = 27270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114830017089844 × 216)
    floor (0.114830017089844 × 65536)
    floor (7525.5)     		ty = 7525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27270 / 7525 ti = "16/27270/7525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27270/7525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27270 ÷ 216
    27270 ÷ 65536     		x = 0.416107177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7525 ÷ 216
    7525 ÷ 65536     		y = 0.114822387695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416107177734375 × 2 - 1) × π
    -0.16778564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52711415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114822387695312 × 2 - 1) × π
    0.770355224609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.42014231421815
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52711415} λ = -0.52711415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42014231421815))-π/2
    2×atan(11.2474598744462)-π/2
    2×1.48212052767343-π/2
    2.96424105534686-1.57079632675     		φ = 1.39344473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52711415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.201416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39344473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.838502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27270 KachelY 7525 -0.52711415 1.39344473 -30.201416 79.838502
    Oben rechts KachelX + 1 27271 KachelY 7525 -0.52701827 1.39344473 -30.195923 79.838502
    Unten links KachelX 27270 KachelY + 1 7526 -0.52711415 1.39342781 -30.201416 79.837533
    Unten rechts KachelX + 1 27271 KachelY + 1 7526 -0.52701827 1.39342781 -30.195923 79.837533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39344473-1.39342781) × R
    1.69199999999758e-05 × 6371000     		dl = 107.797319999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39344473-1.39342781) × R
    1.69199999999758e-05 × 6371000     		dr = 107.797319999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52711415--0.52701827) × cos(1.39344473) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.176423333822617 × 6371000     		do = 107.768454572009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52711415--0.52701827) × cos(1.39342781) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.176439988396746 × 6371000     		du = 107.778628043264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39344473)-sin(1.39342781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176423333822617-0.176439988396746)×R²
    abs(-0.52701827--0.52711415)×1.66545741289714e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.66545741289714e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.66545741289714e-05×40589641000000     		ar = 11617.698920434m²