Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27269 / 7556
↖ ↑ ↗
← N 79.808415°
W 30.206909°		 ← 108.07 m → N 79.808415°
W 30.201416°		 →
↑
108.12 m
↓
↑
108.12 m
↓
N 79.807443°
W 30.206909°		 ← 108.08 m →
11 685 m²		 N 79.807443°
W 30.201416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416099548339844 y=0.115303039550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416099548339844 × 216)
    floor (0.416099548339844 × 65536)
    floor (27269.5)     		tx = 27269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115303039550781 × 216)
    floor (0.115303039550781 × 65536)
    floor (7556.5)     		ty = 7556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27269 / 7556 ti = "16/27269/7556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27269/7556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27269 ÷ 216
    27269 ÷ 65536     		x = 0.416091918945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7556 ÷ 216
    7556 ÷ 65536     		y = 0.11529541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416091918945312 × 2 - 1) × π
    -0.167816162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.52721002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11529541015625 × 2 - 1) × π
    0.7694091796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.41717022644171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52721002} λ = -0.52721002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41717022644171))-π/2
    2×atan(11.2140810633859)-π/2
    2×1.48185797100297-π/2
    2.96371594200594-1.57079632675     		φ = 1.39291962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52721002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.206909°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39291962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.808415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27269 KachelY 7556 -0.52721002 1.39291962 -30.206909 79.808415
    Oben rechts KachelX + 1 27270 KachelY 7556 -0.52711415 1.39291962 -30.201416 79.808415
    Unten links KachelX 27269 KachelY + 1 7557 -0.52721002 1.39290265 -30.206909 79.807443
    Unten rechts KachelX + 1 27270 KachelY + 1 7557 -0.52711415 1.39290265 -30.201416 79.807443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39291962-1.39290265) × R
    1.69700000001161e-05 × 6371000     		dl = 108.115870000739m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39291962-1.39290265) × R
    1.69700000001161e-05 × 6371000     		dr = 108.115870000739m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52721002--0.52711415) × cos(1.39291962) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.176940182801711 × 6371000     		do = 108.072899676847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52721002--0.52711415) × cos(1.39290265) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.176956885016904 × 6371000     		du = 108.083101185619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39291962)-sin(1.39290265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176940182801711-0.176956885016904)×R²
    abs(-0.52711415--0.52721002)×1.67022151926211e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.67022151926211e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.67022151926211e-05×40589641000000     		ar = 11684.947045019m²