Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27268 / 42627
↖ ↑ ↗
← S 47.528329°
W 30.212403°		 ← 412.46 m → S 47.528329°
W 30.206909°		 →
↑
412.46 m
↓
↑
412.46 m
↓
S 47.532038°
W 30.212403°		 ← 412.43 m →
170 118 m²		 S 47.532038°
W 30.206909°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416084289550781 y=0.650444030761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416084289550781 × 216)
    floor (0.416084289550781 × 65536)
    floor (27268.5)     		tx = 27268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650444030761719 × 216)
    floor (0.650444030761719 × 65536)
    floor (42627.5)     		ty = 42627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27268 / 42627 ti = "16/27268/42627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27268/42627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27268 ÷ 216
    27268 ÷ 65536     		x = 0.41607666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42627 ÷ 216
    42627 ÷ 65536     		y = 0.650436401367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41607666015625 × 2 - 1) × π
    -0.1678466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52730590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650436401367188 × 2 - 1) × π
    -0.300872802734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.945219786708267
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52730590} λ = -0.52730590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.945219786708267))-π/2
    2×atan(0.388594153685422)-π/2
    2×0.37063524668832-π/2
    0.741270493376641-1.57079632675     		φ = -0.82952583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52730590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.212403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82952583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.528329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27268 KachelY 42627 -0.52730590 -0.82952583 -30.212403 -47.528329
    Oben rechts KachelX + 1 27269 KachelY 42627 -0.52721002 -0.82952583 -30.206909 -47.528329
    Unten links KachelX 27268 KachelY + 1 42628 -0.52730590 -0.82959057 -30.212403 -47.532038
    Unten rechts KachelX + 1 27269 KachelY + 1 42628 -0.52721002 -0.82959057 -30.206909 -47.532038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82952583--0.82959057) × R
    6.47400000000076e-05 × 6371000     		dl = 412.458540000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82952583--0.82959057) × R
    6.47400000000076e-05 × 6371000     		dr = 412.458540000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52730590--0.52721002) × cos(-0.82952583) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.675225589107811 × 6371000     		do = 412.462550440586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52730590--0.52721002) × cos(-0.82959057) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.675177834738401 × 6371000     		du = 412.433379613355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82952583)-sin(-0.82959057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675225589107811-0.675177834738401)×R²
    abs(-0.52721002--0.52730590)×4.7754369409958e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.7754369409958e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.7754369409958e-05×40589641000000     		ar = 170117.685540399m²