Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27267 / 7555
↖ ↑ ↗
← N 79.809387°
W 30.217896°		 ← 108.06 m → N 79.809387°
W 30.212403°		 →
↑
108.05 m
↓
↑
108.05 m
↓
N 79.808415°
W 30.217896°		 ← 108.07 m →
11 677 m²		 N 79.808415°
W 30.212403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416069030761719 y=0.115287780761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416069030761719 × 216)
    floor (0.416069030761719 × 65536)
    floor (27267.5)     		tx = 27267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115287780761719 × 216)
    floor (0.115287780761719 × 65536)
    floor (7555.5)     		ty = 7555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27267 / 7555 ti = "16/27267/7555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27267/7555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27267 ÷ 216
    27267 ÷ 65536     		x = 0.416061401367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7555 ÷ 216
    7555 ÷ 65536     		y = 0.115280151367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416061401367188 × 2 - 1) × π
    -0.167877197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52740177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115280151367188 × 2 - 1) × π
    0.769439697265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.41726610024095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52740177} λ = -0.52740177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41726610024095))-π/2
    2×atan(11.2151562514828)-π/2
    2×1.48186645256681-π/2
    2.96373290513362-1.57079632675     		φ = 1.39293658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52740177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.217896°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39293658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.809387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27267 KachelY 7555 -0.52740177 1.39293658 -30.217896 79.809387
    Oben rechts KachelX + 1 27268 KachelY 7555 -0.52730590 1.39293658 -30.212403 79.809387
    Unten links KachelX 27267 KachelY + 1 7556 -0.52740177 1.39291962 -30.217896 79.808415
    Unten rechts KachelX + 1 27268 KachelY + 1 7556 -0.52730590 1.39291962 -30.212403 79.808415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39293658-1.39291962) × R
    1.69599999999548e-05 × 6371000     		dl = 108.052159999712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39293658-1.39291962) × R
    1.69599999999548e-05 × 6371000     		dr = 108.052159999712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52740177--0.52730590) × cos(1.39293658) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.17692349037781 × 6371000     		do = 108.062704148476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52740177--0.52730590) × cos(1.39291962) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.176940182801711 × 6371000     		du = 108.072899676847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39293658)-sin(1.39291962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17692349037781-0.176940182801711)×R²
    abs(-0.52730590--0.52740177)×1.66924239017596e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.66924239017596e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.66924239017596e-05×40589641000000     		ar = 11676.9594234849m²