Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27266 / 7558
↖ ↑ ↗
← N 79.806471°
W 30.223388°		 ← 108.09 m → N 79.806471°
W 30.217896°		 →
↑
108.05 m
↓
↑
108.05 m
↓
N 79.805499°
W 30.223388°		 ← 108.10 m →
11 680 m²		 N 79.805499°
W 30.217896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416053771972656 y=0.115333557128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416053771972656 × 216)
    floor (0.416053771972656 × 65536)
    floor (27266.5)     		tx = 27266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115333557128906 × 216)
    floor (0.115333557128906 × 65536)
    floor (7558.5)     		ty = 7558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27266 / 7558 ti = "16/27266/7558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27266/7558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27266 ÷ 216
    27266 ÷ 65536     		x = 0.416046142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7558 ÷ 216
    7558 ÷ 65536     		y = 0.115325927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416046142578125 × 2 - 1) × π
    -0.16790771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.52749764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115325927734375 × 2 - 1) × π
    0.76934814453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.41697847884323
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52749764} λ = -0.52749764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41697847884323))-π/2
    2×atan(11.2119309964145)-π/2
    2×1.48184100547413-π/2
    2.96368201094825-1.57079632675     		φ = 1.39288568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52749764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.223388°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39288568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.806471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27266 KachelY 7558 -0.52749764 1.39288568 -30.223388 79.806471
    Oben rechts KachelX + 1 27267 KachelY 7558 -0.52740177 1.39288568 -30.217896 79.806471
    Unten links KachelX 27266 KachelY + 1 7559 -0.52749764 1.39286872 -30.223388 79.805499
    Unten rechts KachelX + 1 27267 KachelY + 1 7559 -0.52740177 1.39286872 -30.217896 79.805499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39288568-1.39286872) × R
    1.69599999999548e-05 × 6371000     		dl = 108.052159999712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39288568-1.39286872) × R
    1.69599999999548e-05 × 6371000     		dr = 108.052159999712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52749764--0.52740177) × cos(1.39288568) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.176973587181136 × 6371000     		do = 108.093302663264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52749764--0.52740177) × cos(1.39286872) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.176990279452278 × 6371000     		du = 108.103498098331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39288568)-sin(1.39286872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176973587181136-0.176990279452278)×R²
    abs(-0.52740177--0.52749764)×1.66922711412609e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.66922711412609e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.66922711412609e-05×40589641000000     		ar = 11680.2656539822m²