Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27265 / 7557
↖ ↑ ↗
← N 79.807443°
W 30.228882°		 ← 108.09 m → N 79.807443°
W 30.223388°		 →
↑
108.12 m
↓
↑
108.12 m
↓
N 79.806471°
W 30.228882°		 ← 108.10 m →
11 687 m²		 N 79.806471°
W 30.223388°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416038513183594 y=0.115318298339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416038513183594 × 216)
    floor (0.416038513183594 × 65536)
    floor (27265.5)     		tx = 27265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115318298339844 × 216)
    floor (0.115318298339844 × 65536)
    floor (7557.5)     		ty = 7557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27265 / 7557 ti = "16/27265/7557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27265/7557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27265 ÷ 216
    27265 ÷ 65536     		x = 0.416030883789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7557 ÷ 216
    7557 ÷ 65536     		y = 0.115310668945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416030883789062 × 2 - 1) × π
    -0.167938232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52759352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115310668945312 × 2 - 1) × π
    0.769378662109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.41707435264247
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52759352} λ = -0.52759352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41707435264247))-π/2
    2×atan(11.2130059783665)-π/2
    2×1.48184948863877-π/2
    2.96369897727754-1.57079632675     		φ = 1.39290265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52759352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.228882°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39290265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.807443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27265 KachelY 7557 -0.52759352 1.39290265 -30.228882 79.807443
    Oben rechts KachelX + 1 27266 KachelY 7557 -0.52749764 1.39290265 -30.223388 79.807443
    Unten links KachelX 27265 KachelY + 1 7558 -0.52759352 1.39288568 -30.228882 79.806471
    Unten rechts KachelX + 1 27266 KachelY + 1 7558 -0.52749764 1.39288568 -30.223388 79.806471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39290265-1.39288568) × R
    1.6969999999894e-05 × 6371000     		dl = 108.115869999325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39290265-1.39288568) × R
    1.6969999999894e-05 × 6371000     		dr = 108.115869999325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52759352--0.52749764) × cos(1.39290265) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.176956885016904 × 6371000     		do = 108.09437510882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52759352--0.52749764) × cos(1.39288568) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.176973587181136 × 6371000     		du = 108.10457765056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39290265)-sin(1.39288568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176956885016904-0.176973587181136)×R²
    abs(-0.52749764--0.52759352)×1.67021642321907e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.67021642321907e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.67021642321907e-05×40589641000000     		ar = 11687.2689354541m²