Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27265 / 42623
↖ ↑ ↗
← S 47.513491°
W 30.228882°		 ← 412.58 m → S 47.513491°
W 30.223388°		 →
↑
412.52 m
↓
↑
412.52 m
↓
S 47.517200°
W 30.228882°		 ← 412.55 m →
170 192 m²		 S 47.517200°
W 30.223388°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416038513183594 y=0.650382995605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416038513183594 × 216)
    floor (0.416038513183594 × 65536)
    floor (27265.5)     		tx = 27265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650382995605469 × 216)
    floor (0.650382995605469 × 65536)
    floor (42623.5)     		ty = 42623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27265 / 42623 ti = "16/27265/42623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27265/42623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27265 ÷ 216
    27265 ÷ 65536     		x = 0.416030883789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42623 ÷ 216
    42623 ÷ 65536     		y = 0.650375366210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416030883789062 × 2 - 1) × π
    -0.167938232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52759352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650375366210938 × 2 - 1) × π
    -0.300750732421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.944836291511307
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52759352} λ = -0.52759352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.944836291511307))-π/2
    2×atan(0.388743206255573)-π/2
    2×0.370764737885282-π/2
    0.741529475770565-1.57079632675     		φ = -0.82926685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52759352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.228882°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82926685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.513491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27265 KachelY 42623 -0.52759352 -0.82926685 -30.228882 -47.513491
    Oben rechts KachelX + 1 27266 KachelY 42623 -0.52749764 -0.82926685 -30.223388 -47.513491
    Unten links KachelX 27265 KachelY + 1 42624 -0.52759352 -0.82933160 -30.228882 -47.517200
    Unten rechts KachelX + 1 27266 KachelY + 1 42624 -0.52749764 -0.82933160 -30.223388 -47.517200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82926685--0.82933160) × R
    6.47499999999468e-05 × 6371000     		dl = 412.522249999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82926685--0.82933160) × R
    6.47499999999468e-05 × 6371000     		dr = 412.522249999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52759352--0.52749764) × cos(-0.82926685) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.675416593031666 × 6371000     		do = 412.579225470158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52759352--0.52749764) × cos(-0.82933160) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.675368842609735 × 6371000     		du = 412.550057054251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82926685)-sin(-0.82933160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675416593031666-0.675368842609735)×R²
    abs(-0.52749764--0.52759352)×4.77504219311697e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.77504219311697e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.77504219311697e-05×40589641000000     		ar = 170192.094143279m²