Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27263 / 7551
↖ ↑ ↗
← N 79.813274°
W 30.239868°		 ← 108.02 m → N 79.813274°
W 30.234375°		 →
↑
107.99 m
↓
↑
107.99 m
↓
N 79.812302°
W 30.239868°		 ← 108.03 m →
11 666 m²		 N 79.812302°
W 30.234375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416007995605469 y=0.115226745605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416007995605469 × 216)
    floor (0.416007995605469 × 65536)
    floor (27263.5)     		tx = 27263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115226745605469 × 216)
    floor (0.115226745605469 × 65536)
    floor (7551.5)     		ty = 7551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27263 / 7551 ti = "16/27263/7551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27263/7551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27263 ÷ 216
    27263 ÷ 65536     		x = 0.416000366210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7551 ÷ 216
    7551 ÷ 65536     		y = 0.115219116210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416000366210938 × 2 - 1) × π
    -0.167999267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52778526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115219116210938 × 2 - 1) × π
    0.769561767578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.41764959543791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52778526} λ = -0.52778526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41764959543791))-π/2
    2×atan(11.2194580348423)-π/2
    2×1.48190037081994-π/2
    2.96380074163989-1.57079632675     		φ = 1.39300441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52778526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.239868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39300441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.813274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27263 KachelY 7551 -0.52778526 1.39300441 -30.239868 79.813274
    Oben rechts KachelX + 1 27264 KachelY 7551 -0.52768939 1.39300441 -30.234375 79.813274
    Unten links KachelX 27263 KachelY + 1 7552 -0.52778526 1.39298746 -30.239868 79.812302
    Unten rechts KachelX + 1 27264 KachelY + 1 7552 -0.52768939 1.39298746 -30.234375 79.812302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39300441-1.39298746) × R
    1.69500000000156e-05 × 6371000     		dl = 107.988450000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39300441-1.39298746) × R
    1.69500000000156e-05 × 6371000     		dr = 107.988450000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52778526--0.52768939) × cos(1.39300441) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.176856730015711 × 6371000     		do = 108.021927735786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52778526--0.52768939) × cos(1.39298746) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.17687341280078 × 6371000     		du = 108.032117376876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39300441)-sin(1.39298746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176856730015711-0.17687341280078)×R²
    abs(-0.52768939--0.52778526)×1.66827850691664e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.66827850691664e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.66827850691664e-05×40589641000000     		ar = 11665.6707242073m²