Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27263 / 42643
↖ ↑ ↗
← S 47.587642°
W 30.239868°		 ← 411.95 m → S 47.587642°
W 30.234375°		 →
↑
411.95 m
↓
↑
411.95 m
↓
S 47.591346°
W 30.239868°		 ← 411.92 m →
169 698 m²		 S 47.591346°
W 30.234375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416007995605469 y=0.650688171386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416007995605469 × 216)
    floor (0.416007995605469 × 65536)
    floor (27263.5)     		tx = 27263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650688171386719 × 216)
    floor (0.650688171386719 × 65536)
    floor (42643.5)     		ty = 42643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27263 / 42643 ti = "16/27263/42643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27263/42643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27263 ÷ 216
    27263 ÷ 65536     		x = 0.416000366210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42643 ÷ 216
    42643 ÷ 65536     		y = 0.650680541992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416000366210938 × 2 - 1) × π
    -0.167999267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52778526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650680541992188 × 2 - 1) × π
    -0.301361083984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.946753767496109
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52778526} λ = -0.52778526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.946753767496109))-π/2
    2×atan(0.387998514685592)-π/2
    2×0.370117648124035-π/2
    0.74023529624807-1.57079632675     		φ = -0.83056103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52778526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.239868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83056103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.587642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27263 KachelY 42643 -0.52778526 -0.83056103 -30.239868 -47.587642
    Oben rechts KachelX + 1 27264 KachelY 42643 -0.52768939 -0.83056103 -30.234375 -47.587642
    Unten links KachelX 27263 KachelY + 1 42644 -0.52778526 -0.83062569 -30.239868 -47.591346
    Unten rechts KachelX + 1 27264 KachelY + 1 42644 -0.52768939 -0.83062569 -30.234375 -47.591346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83056103--0.83062569) × R
    6.46599999999387e-05 × 6371000     		dl = 411.948859999609m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83056103--0.83062569) × R
    6.46599999999387e-05 × 6371000     		dr = 411.948859999609m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52778526--0.52768939) × cos(-0.83056103) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.674461652245709 × 6371000     		do = 411.952928525663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52778526--0.52768939) × cos(-0.83062569) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.674413911718935 × 6371000     		du = 411.923769195776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83056103)-sin(-0.83062569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674461652245709-0.674413911718935)×R²
    abs(-0.52768939--0.52778526)×4.77405267736986e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77405267736986e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77405267736986e-05×40589641000000     		ar = 169697.53326266m²