Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2726 / 5846
↖ ↑ ↗
← S 60.716198°
W 60.205078°		 ← 2 390.16 m → S 60.716198°
W 60.161133°		 →
↑
2 389.38 m
↓
↑
2 389.38 m
↓
S 60.737686°
W 60.205078°		 ← 2 388.56 m →
5 709 089 m²		 S 60.737686°
W 60.161133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5846 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.33282470703125 y=0.71368408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.33282470703125 × 213)
    floor (0.33282470703125 × 8192)
    floor (2726.5)     		tx = 2726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.71368408203125 × 213)
    floor (0.71368408203125 × 8192)
    floor (5846.5)     		ty = 5846
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2726 / 5846 ti = "13/2726/5846"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2726/5846.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2726 ÷ 213
    2726 ÷ 8192     		x = 0.332763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5846 ÷ 213
    5846 ÷ 8192     		y = 0.713623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.332763671875 × 2 - 1) × π
    -0.33447265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.05077684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.713623046875 × 2 - 1) × π
    -0.42724609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.34223318936157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.05077684} λ = -1.05077684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.34223318936157))-π/2
    2×atan(0.261261570062924)-π/2
    2×0.255549383011812-π/2
    0.511098766023624-1.57079632675     		φ = -1.05969756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.05077684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.205078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.05969756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.716198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2726 KachelY 5846 -1.05077684 -1.05969756 -60.205078 -60.716198
    Oben rechts KachelX + 1 2727 KachelY 5846 -1.05000985 -1.05969756 -60.161133 -60.716198
    Unten links KachelX 2726 KachelY + 1 5847 -1.05077684 -1.06007260 -60.205078 -60.737686
    Unten rechts KachelX + 1 2727 KachelY + 1 5847 -1.05000985 -1.06007260 -60.161133 -60.737686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.05969756--1.06007260) × R
    0.000375039999999993 × 6371000     		dl = 2389.37983999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.05969756--1.06007260) × R
    0.000375039999999993 × 6371000     		dr = 2389.37983999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.05077684--1.05000985) × cos(-1.05969756) × R
    0.000766990000000023 × 0.489135894690033 × 6371000     		do = 2390.15926730106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.05077684--1.05000985) × cos(-1.06007260) × R
    0.000766990000000023 × 0.488808747564201 × 6371000     		du = 2388.56066506584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.05969756)-sin(-1.06007260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.489135894690033-0.488808747564201)×R²
    abs(-1.05000985--1.05077684)×0.000327147125831373×R²
    0.000766990000000023×0.000327147125831373×6371000²
    0.000766990000000023×0.000327147125831373×40589641000000     		ar = 5709088.60061987m²