Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27258 / 42638
↖ ↑ ↗
← S 47.569114°
W 30.267334°		 ← 412.10 m → S 47.569114°
W 30.261841°		 →
↑
412.08 m
↓
↑
412.08 m
↓
S 47.572820°
W 30.267334°		 ← 412.07 m →
169 810 m²		 S 47.572820°
W 30.261841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415931701660156 y=0.650611877441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415931701660156 × 216)
    floor (0.415931701660156 × 65536)
    floor (27258.5)     		tx = 27258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650611877441406 × 216)
    floor (0.650611877441406 × 65536)
    floor (42638.5)     		ty = 42638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27258 / 42638 ti = "16/27258/42638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27258/42638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27258 ÷ 216
    27258 ÷ 65536     		x = 0.415924072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42638 ÷ 216
    42638 ÷ 65536     		y = 0.650604248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415924072265625 × 2 - 1) × π
    -0.16815185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52826463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650604248046875 × 2 - 1) × π
    -0.30120849609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.946274398499908
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52826463} λ = -0.52826463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.946274398499908))-π/2
    2×atan(0.388184553731217)-π/2
    2×0.370279334734334-π/2
    0.740558669468668-1.57079632675     		φ = -0.83023766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52826463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.267334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83023766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.569114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27258 KachelY 42638 -0.52826463 -0.83023766 -30.267334 -47.569114
    Oben rechts KachelX + 1 27259 KachelY 42638 -0.52816876 -0.83023766 -30.261841 -47.569114
    Unten links KachelX 27258 KachelY + 1 42639 -0.52826463 -0.83030234 -30.267334 -47.572820
    Unten rechts KachelX + 1 27259 KachelY + 1 42639 -0.52816876 -0.83030234 -30.261841 -47.572820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83023766--0.83030234) × R
    6.46800000000392e-05 × 6371000     		dl = 412.076280000249m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83023766--0.83030234) × R
    6.46800000000392e-05 × 6371000     		dr = 412.076280000249m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52826463--0.52816876) × cos(-0.83023766) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.674700364244001 × 6371000     		do = 412.098730894772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52826463--0.52816876) × cos(-0.83030234) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.674652623058905 × 6371000     		du = 412.06957116279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83023766)-sin(-0.83030234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674700364244001-0.674652623058905)×R²
    abs(-0.52816876--0.52826463)×4.774118509554e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.774118509554e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.774118509554e-05×40589641000000     		ar = 169810.104062041m²