Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27254 / 7514
↖ ↑ ↗
← N 79.849157°
W 30.289307°		 ← 107.65 m → N 79.849157°
W 30.283814°		 →
↑
107.67 m
↓
↑
107.67 m
↓
N 79.848188°
W 30.289307°		 ← 107.66 m →
11 591 m²		 N 79.848188°
W 30.283814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415870666503906 y=0.114662170410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415870666503906 × 216)
    floor (0.415870666503906 × 65536)
    floor (27254.5)     		tx = 27254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114662170410156 × 216)
    floor (0.114662170410156 × 65536)
    floor (7514.5)     		ty = 7514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27254 / 7514 ti = "16/27254/7514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27254/7514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27254 ÷ 216
    27254 ÷ 65536     		x = 0.415863037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7514 ÷ 216
    7514 ÷ 65536     		y = 0.114654541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415863037109375 × 2 - 1) × π
    -0.16827392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52864813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114654541015625 × 2 - 1) × π
    0.77069091796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.4211969260098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52864813} λ = -0.52864813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4211969260098))-π/2
    2×atan(11.2593278352015)-π/2
    2×1.48221350846911-π/2
    2.96442701693823-1.57079632675     		φ = 1.39363069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52864813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.289307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39363069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.849157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27254 KachelY 7514 -0.52864813 1.39363069 -30.289307 79.849157
    Oben rechts KachelX + 1 27255 KachelY 7514 -0.52855226 1.39363069 -30.283814 79.849157
    Unten links KachelX 27254 KachelY + 1 7515 -0.52864813 1.39361379 -30.289307 79.848188
    Unten rechts KachelX + 1 27255 KachelY + 1 7515 -0.52855226 1.39361379 -30.283814 79.848188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39363069-1.39361379) × R
    1.68999999998753e-05 × 6371000     		dl = 107.669899999206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39363069-1.39361379) × R
    1.68999999998753e-05 × 6371000     		dr = 107.669899999206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52864813--0.52855226) × cos(1.39363069) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.176240287670296 × 6371000     		do = 107.645412290296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52864813--0.52855226) × cos(1.39361379) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.176256923112385 × 6371000     		du = 107.655573014873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39363069)-sin(1.39361379))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176240287670296-0.176256923112385)×R²
    abs(-0.52855226--0.52864813)×1.66354420892134e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.66354420892134e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.66354420892134e-05×40589641000000     		ar = 11590.7177786396m²