Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27253 / 7499
↖ ↑ ↗
← N 79.863668°
W 30.294800°		 ← 107.49 m → N 79.863668°
W 30.289307°		 →
↑
107.48 m
↓
↑
107.48 m
↓
N 79.862701°
W 30.294800°		 ← 107.50 m →
11 554 m²		 N 79.862701°
W 30.289307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415855407714844 y=0.114433288574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415855407714844 × 216)
    floor (0.415855407714844 × 65536)
    floor (27253.5)     		tx = 27253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114433288574219 × 216)
    floor (0.114433288574219 × 65536)
    floor (7499.5)     		ty = 7499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27253 / 7499 ti = "16/27253/7499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27253/7499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27253 ÷ 216
    27253 ÷ 65536     		x = 0.415847778320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7499 ÷ 216
    7499 ÷ 65536     		y = 0.114425659179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415847778320312 × 2 - 1) × π
    -0.168304443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.52874400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114425659179688 × 2 - 1) × π
    0.771148681640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.4226350329984
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52874400} λ = -0.52874400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4226350329984))-π/2
    2×atan(11.2755316018306)-π/2
    2×1.48234014500807-π/2
    2.96468029001614-1.57079632675     		φ = 1.39388396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52874400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.294800°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39388396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.863668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27253 KachelY 7499 -0.52874400 1.39388396 -30.294800 79.863668
    Oben rechts KachelX + 1 27254 KachelY 7499 -0.52864813 1.39388396 -30.289307 79.863668
    Unten links KachelX 27253 KachelY + 1 7500 -0.52874400 1.39386709 -30.294800 79.862701
    Unten rechts KachelX + 1 27254 KachelY + 1 7500 -0.52864813 1.39386709 -30.289307 79.862701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39388396-1.39386709) × R
    1.68699999998356e-05 × 6371000     		dl = 107.478769998953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39388396-1.39386709) × R
    1.68699999998356e-05 × 6371000     		dr = 107.478769998953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52874400--0.52864813) × cos(1.39388396) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.175990976411412 × 6371000     		do = 107.493136022447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52874400--0.52864813) × cos(1.39386709) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.176007583075694 × 6371000     		du = 107.50327916989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39388396)-sin(1.39386709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175990976411412-0.176007583075694)×R²
    abs(-0.52864813--0.52874400)×1.66066642817431e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.66066642817431e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.66066642817431e-05×40589641000000     		ar = 11553.7751299761m²