Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27249 / 6479
↖ ↑ ↗
← N 80.803732°
W 30.316773°		 ← 97.62 m → N 80.803732°
W 30.311279°		 →
↑
97.67 m
↓
↑
97.67 m
↓
N 80.802854°
W 30.316773°		 ← 97.63 m →
9 535 m²		 N 80.802854°
W 30.311279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415794372558594 y=0.0988693237304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415794372558594 × 216)
    floor (0.415794372558594 × 65536)
    floor (27249.5)     		tx = 27249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0988693237304688 × 216)
    floor (0.0988693237304688 × 65536)
    floor (6479.5)     		ty = 6479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27249 / 6479 ti = "16/27249/6479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27249/6479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27249 ÷ 216
    27249 ÷ 65536     		x = 0.415786743164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6479 ÷ 216
    6479 ÷ 65536     		y = 0.0988616943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415786743164062 × 2 - 1) × π
    -0.168426513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52912750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0988616943359375 × 2 - 1) × π
    0.802276611328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.52042630822331
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52912750} λ = -0.52912750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52042630822331))-π/2
    2×atan(12.4338962060785)-π/2
    2×1.49054374662352-π/2
    2.98108749324704-1.57079632675     		φ = 1.41029117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52912750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.316773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41029117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.803732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27249 KachelY 6479 -0.52912750 1.41029117 -30.316773 80.803732
    Oben rechts KachelX + 1 27250 KachelY 6479 -0.52903162 1.41029117 -30.311279 80.803732
    Unten links KachelX 27249 KachelY + 1 6480 -0.52912750 1.41027584 -30.316773 80.802854
    Unten rechts KachelX + 1 27250 KachelY + 1 6480 -0.52903162 1.41027584 -30.311279 80.802854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41029117-1.41027584) × R
    1.53300000000911e-05 × 6371000     		dl = 97.6674300005804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41029117-1.41027584) × R
    1.53300000000911e-05 × 6371000     		dr = 97.6674300005804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52912750--0.52903162) × cos(1.41029117) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.159816890835661 × 6371000     		do = 97.6243842958979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52912750--0.52903162) × cos(1.41027584) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.159832023775436 × 6371000     		du = 97.633628274556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41029117)-sin(1.41027584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159816890835661-0.159832023775436)×R²
    abs(-0.52903162--0.52912750)×1.5132939774759e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.5132939774759e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.5132939774759e-05×40589641000000     		ar = 9535.17413742689m²