Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27248 / 25321
↖ ↑ ↗
← S 69.569061°
E119.355469°		 ← 426.45 m → S 69.569061°
E119.366455°		 →
↑
426.41 m
↓
↑
426.41 m
↓
S 69.572896°
E119.355469°		 ← 426.37 m →
181 826 m²		 S 69.572896°
E119.366455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831558227539062 y=0.772750854492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831558227539062 × 215)
    floor (0.831558227539062 × 32768)
    floor (27248.5)     		tx = 27248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772750854492188 × 215)
    floor (0.772750854492188 × 32768)
    floor (25321.5)     		ty = 25321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27248 / 25321 ti = "15/27248/25321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27248/25321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27248 ÷ 215
    27248 ÷ 32768     		x = 0.83154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25321 ÷ 215
    25321 ÷ 32768     		y = 0.772735595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83154296875 × 2 - 1) × π
    0.6630859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.08314591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772735595703125 × 2 - 1) × π
    -0.54547119140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.71364828761777
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08314591} λ = 2.08314591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71364828761777))-π/2
    2×atan(0.180207144385085)-π/2
    2×0.178293574516923-π/2
    0.356587149033846-1.57079632675     		φ = -1.21420918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08314591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.355469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21420918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.569061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27248 KachelY 25321 2.08314591 -1.21420918 119.355469 -69.569061
    Oben rechts KachelX + 1 27249 KachelY 25321 2.08333766 -1.21420918 119.366455 -69.569061
    Unten links KachelX 27248 KachelY + 1 25322 2.08314591 -1.21427611 119.355469 -69.572896
    Unten rechts KachelX + 1 27249 KachelY + 1 25322 2.08333766 -1.21427611 119.366455 -69.572896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21420918--1.21427611) × R
    6.69299999997985e-05 × 6371000     		dl = 426.411029998717m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21420918--1.21427611) × R
    6.69299999997985e-05 × 6371000     		dr = 426.411029998717m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08314591-2.08333766) × cos(-1.21420918) × R
    0.000191750000000379 × 0.349078109434416 × 6371000     		do = 426.447519801721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08314591-2.08333766) × cos(-1.21427611) × R
    0.000191750000000379 × 0.349015388975861 × 6371000     		du = 426.370898027772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21420918)-sin(-1.21427611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349078109434416-0.349015388975861)×R²
    abs(2.08333766-2.08314591)×6.27204585543772e-05×R²
    0.000191750000000379×6.27204585543772e-05×6371000²
    0.000191750000000379×6.27204585543772e-05×40589641000000     		ar = 181825.590042707m²