Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27247 / 6481
↖ ↑ ↗
← N 80.801976°
W 30.327759°		 ← 97.64 m → N 80.801976°
W 30.322266°		 →
↑
97.67 m
↓
↑
97.67 m
↓
N 80.801097°
W 30.327759°		 ← 97.65 m →
9 537 m²		 N 80.801097°
W 30.322266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415763854980469 y=0.0988998413085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415763854980469 × 216)
    floor (0.415763854980469 × 65536)
    floor (27247.5)     		tx = 27247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0988998413085938 × 216)
    floor (0.0988998413085938 × 65536)
    floor (6481.5)     		ty = 6481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27247 / 6481 ti = "16/27247/6481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27247/6481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27247 ÷ 216
    27247 ÷ 65536     		x = 0.415756225585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6481 ÷ 216
    6481 ÷ 65536     		y = 0.0988922119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415756225585938 × 2 - 1) × π
    -0.168487548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52931925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0988922119140625 × 2 - 1) × π
    0.802215576171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.52023456062483
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52931925} λ = -0.52931925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52023456062483))-π/2
    2×atan(12.431512264906)-π/2
    2×1.49052842292047-π/2
    2.98105684584094-1.57079632675     		φ = 1.41026052
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52931925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.327759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41026052 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.801976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27247 KachelY 6481 -0.52931925 1.41026052 -30.327759 80.801976
    Oben rechts KachelX + 1 27248 KachelY 6481 -0.52922337 1.41026052 -30.322266 80.801976
    Unten links KachelX 27247 KachelY + 1 6482 -0.52931925 1.41024519 -30.327759 80.801097
    Unten rechts KachelX + 1 27248 KachelY + 1 6482 -0.52922337 1.41024519 -30.322266 80.801097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41026052-1.41024519) × R
    1.53300000000911e-05 × 6371000     		dl = 97.6674300005804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41026052-1.41024519) × R
    1.53300000000911e-05 × 6371000     		dr = 97.6674300005804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52931925--0.52922337) × cos(1.41026052) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.159847146806231 × 6371000     		do = 97.6428662004122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52931925--0.52922337) × cos(1.41024519) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.159862279670902 × 6371000     		du = 97.6521101331936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41026052)-sin(1.41024519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159847146806231-0.159862279670902)×R²
    abs(-0.52922337--0.52931925)×1.51328646718074e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.51328646718074e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.51328646718074e-05×40589641000000     		ar = 9536.97921562097m²