Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27247 / 42644
↖ ↑ ↗
← S 47.591346°
W 30.327759°		 ← 411.97 m → S 47.591346°
W 30.322266°		 →
↑
411.95 m
↓
↑
411.95 m
↓
S 47.595051°
W 30.327759°		 ← 411.94 m →
169 703 m²		 S 47.595051°
W 30.322266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415763854980469 y=0.650703430175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415763854980469 × 216)
    floor (0.415763854980469 × 65536)
    floor (27247.5)     		tx = 27247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650703430175781 × 216)
    floor (0.650703430175781 × 65536)
    floor (42644.5)     		ty = 42644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27247 / 42644 ti = "16/27247/42644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27247/42644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27247 ÷ 216
    27247 ÷ 65536     		x = 0.415756225585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42644 ÷ 216
    42644 ÷ 65536     		y = 0.65069580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415756225585938 × 2 - 1) × π
    -0.168487548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52931925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65069580078125 × 2 - 1) × π
    -0.3013916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.946849641295349
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52931925} λ = -0.52931925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.946849641295349))-π/2
    2×atan(0.387961317577032)-π/2
    2×0.370085317667818-π/2
    0.740170635335636-1.57079632675     		φ = -0.83062569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52931925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.327759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83062569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.591346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27247 KachelY 42644 -0.52931925 -0.83062569 -30.327759 -47.591346
    Oben rechts KachelX + 1 27248 KachelY 42644 -0.52922337 -0.83062569 -30.322266 -47.591346
    Unten links KachelX 27247 KachelY + 1 42645 -0.52931925 -0.83069035 -30.327759 -47.595051
    Unten rechts KachelX + 1 27248 KachelY + 1 42645 -0.52922337 -0.83069035 -30.322266 -47.595051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83062569--0.83069035) × R
    6.46600000000497e-05 × 6371000     		dl = 411.948860000316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83062569--0.83069035) × R
    6.46600000000497e-05 × 6371000     		dr = 411.948860000316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52931925--0.52922337) × cos(-0.83062569) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.674413911718935 × 6371000     		do = 411.966736106308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52931925--0.52922337) × cos(-0.83069035) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.674366168372494 × 6371000     		du = 411.937572012474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83062569)-sin(-0.83069035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674413911718935-0.674366168372494)×R²
    abs(-0.52922337--0.52931925)×4.77433464414201e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.77433464414201e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.77433464414201e-05×40589641000000     		ar = 169703.220298367m²