Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27245 / 25325
↖ ↑ ↗
← S 69.584396°
E119.322510°		 ← 426.12 m → S 69.584396°
E119.333496°		 →
↑
426.09 m
↓
↑
426.09 m
↓
S 69.588228°
E119.322510°		 ← 426.04 m →
181 550 m²		 S 69.588228°
E119.333496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831466674804688 y=0.772872924804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831466674804688 × 215)
    floor (0.831466674804688 × 32768)
    floor (27245.5)     		tx = 27245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772872924804688 × 215)
    floor (0.772872924804688 × 32768)
    floor (25325.5)     		ty = 25325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27245 / 25325 ti = "15/27245/25325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27245/25325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27245 ÷ 215
    27245 ÷ 32768     		x = 0.831451416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25325 ÷ 215
    25325 ÷ 32768     		y = 0.772857666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831451416015625 × 2 - 1) × π
    0.66290283203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.08257067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772857666015625 × 2 - 1) × π
    -0.54571533203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.71441527801169
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08257067} λ = 2.08257067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71441527801169))-π/2
    2×atan(0.180068980228489)-π/2
    2×0.178159752836764-π/2
    0.356319505673528-1.57079632675     		φ = -1.21447682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08257067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.322510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21447682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.584396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27245 KachelY 25325 2.08257067 -1.21447682 119.322510 -69.584396
    Oben rechts KachelX + 1 27246 KachelY 25325 2.08276241 -1.21447682 119.333496 -69.584396
    Unten links KachelX 27245 KachelY + 1 25326 2.08257067 -1.21454370 119.322510 -69.588228
    Unten rechts KachelX + 1 27246 KachelY + 1 25326 2.08276241 -1.21454370 119.333496 -69.588228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21447682--1.21454370) × R
    6.68799999998804e-05 × 6371000     		dl = 426.092479999238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21447682--1.21454370) × R
    6.68799999998804e-05 × 6371000     		dr = 426.092479999238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08257067-2.08276241) × cos(-1.21447682) × R
    0.000191739999999996 × 0.348827293195536 × 6371000     		do = 426.118889052066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08257067-2.08276241) × cos(-1.21454370) × R
    0.000191739999999996 × 0.348764613347221 × 6371000     		du = 426.042320882514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21447682)-sin(-1.21454370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348827293195536-0.348764613347221)×R²
    abs(2.08276241-2.08257067)×6.26798483149837e-05×R²
    0.000191739999999996×6.26798483149837e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.26798483149837e-05×40589641000000     		ar = 181549.741718454m²