Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27241 / 6622
↖ ↑ ↗
← N 80.677339°
W 30.360718°		 ← 98.95 m → N 80.677339°
W 30.355224°		 →
↑
98.94 m
↓
↑
98.94 m
↓
N 80.676449°
W 30.360718°		 ← 98.96 m →
9 791 m²		 N 80.676449°
W 30.355224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415672302246094 y=0.101051330566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415672302246094 × 216)
    floor (0.415672302246094 × 65536)
    floor (27241.5)     		tx = 27241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101051330566406 × 216)
    floor (0.101051330566406 × 65536)
    floor (6622.5)     		ty = 6622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27241 / 6622 ti = "16/27241/6622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27241/6622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27241 ÷ 216
    27241 ÷ 65536     		x = 0.415664672851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6622 ÷ 216
    6622 ÷ 65536     		y = 0.101043701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415664672851562 × 2 - 1) × π
    -0.168670654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52989449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101043701171875 × 2 - 1) × π
    0.79791259765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.50671635493198
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52989449} λ = -0.52989449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50671635493198))-π/2
    2×atan(12.2645913029315)-π/2
    2×1.48944075949855-π/2
    2.9788815189971-1.57079632675     		φ = 1.40808519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52989449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.360718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40808519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.677339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27241 KachelY 6622 -0.52989449 1.40808519 -30.360718 80.677339
    Oben rechts KachelX + 1 27242 KachelY 6622 -0.52979861 1.40808519 -30.355224 80.677339
    Unten links KachelX 27241 KachelY + 1 6623 -0.52989449 1.40806966 -30.360718 80.676449
    Unten rechts KachelX + 1 27242 KachelY + 1 6623 -0.52979861 1.40806966 -30.355224 80.676449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40808519-1.40806966) × R
    1.55299999999858e-05 × 6371000     		dl = 98.9416299999097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40808519-1.40806966) × R
    1.55299999999858e-05 × 6371000     		dr = 98.9416299999097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52989449--0.52979861) × cos(1.40808519) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.161994126033314 × 6371000     		do = 98.9543516388062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52989449--0.52979861) × cos(1.40806966) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.162009450889225 × 6371000     		du = 98.9637128497203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40808519)-sin(1.40806966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161994126033314-0.162009450889225)×R²
    abs(-0.52979861--0.52989449)×1.53248559111863e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.53248559111863e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.53248559111863e-05×40589641000000     		ar = 9791.16795380601m²