Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27241 / 43594
↖ ↑ ↗
← S 50.993015°
W 30.360718°		 ← 384.48 m → S 50.993015°
W 30.355224°		 →
↑
384.43 m
↓
↑
384.43 m
↓
S 50.996472°
W 30.360718°		 ← 384.45 m →
147 798 m²		 S 50.996472°
W 30.355224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415672302246094 y=0.665199279785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415672302246094 × 216)
    floor (0.415672302246094 × 65536)
    floor (27241.5)     		tx = 27241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665199279785156 × 216)
    floor (0.665199279785156 × 65536)
    floor (43594.5)     		ty = 43594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27241 / 43594 ti = "16/27241/43594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27241/43594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27241 ÷ 216
    27241 ÷ 65536     		x = 0.415664672851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43594 ÷ 216
    43594 ÷ 65536     		y = 0.665191650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415664672851562 × 2 - 1) × π
    -0.168670654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52989449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665191650390625 × 2 - 1) × π
    -0.33038330078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.03792975057346
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52989449} λ = -0.52989449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03792975057346))-π/2
    2×atan(0.35418717927587)-π/2
    2×0.340400164922865-π/2
    0.680800329845729-1.57079632675     		φ = -0.88999600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52989449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.360718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88999600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.993015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27241 KachelY 43594 -0.52989449 -0.88999600 -30.360718 -50.993015
    Oben rechts KachelX + 1 27242 KachelY 43594 -0.52979861 -0.88999600 -30.355224 -50.993015
    Unten links KachelX 27241 KachelY + 1 43595 -0.52989449 -0.89005634 -30.360718 -50.996472
    Unten rechts KachelX + 1 27242 KachelY + 1 43595 -0.52979861 -0.89005634 -30.355224 -50.996472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88999600--0.89005634) × R
    6.03399999999921e-05 × 6371000     		dl = 384.426139999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88999600--0.89005634) × R
    6.03399999999921e-05 × 6371000     		dr = 384.426139999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52989449--0.52979861) × cos(-0.88999600) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.629415134855652 × 6371000     		do = 384.479166661167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52989449--0.52979861) × cos(-0.89005634) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.629368245352526 × 6371000     		du = 384.450524138787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88999600)-sin(-0.89005634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629415134855652-0.629368245352526)×R²
    abs(-0.52979861--0.52989449)×4.68895031258132e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.68895031258132e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.68895031258132e-05×40589641000000     		ar = 147798.336527383m²