Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27240 / 43563
↖ ↑ ↗
← S 50.885709°
W 30.366211°		 ← 385.33 m → S 50.885709°
W 30.360718°		 →
↑
385.32 m
↓
↑
385.32 m
↓
S 50.889174°
W 30.366211°		 ← 385.30 m →
148 468 m²		 S 50.889174°
W 30.360718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415657043457031 y=0.664726257324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415657043457031 × 216)
    floor (0.415657043457031 × 65536)
    floor (27240.5)     		tx = 27240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664726257324219 × 216)
    floor (0.664726257324219 × 65536)
    floor (43563.5)     		ty = 43563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27240 / 43563 ti = "16/27240/43563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27240/43563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27240 ÷ 216
    27240 ÷ 65536     		x = 0.4156494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43563 ÷ 216
    43563 ÷ 65536     		y = 0.664718627929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4156494140625 × 2 - 1) × π
    -0.168701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52999036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664718627929688 × 2 - 1) × π
    -0.329437255859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03495766279701
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52999036} λ = -0.52999036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03495766279701))-π/2
    2×atan(0.355241420534713)-π/2
    2×0.341336583816118-π/2
    0.682673167632236-1.57079632675     		φ = -0.88812316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52999036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.366211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88812316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.885709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27240 KachelY 43563 -0.52999036 -0.88812316 -30.366211 -50.885709
    Oben rechts KachelX + 1 27241 KachelY 43563 -0.52989449 -0.88812316 -30.360718 -50.885709
    Unten links KachelX 27240 KachelY + 1 43564 -0.52999036 -0.88818364 -30.366211 -50.889174
    Unten rechts KachelX + 1 27241 KachelY + 1 43564 -0.52989449 -0.88818364 -30.360718 -50.889174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88812316--0.88818364) × R
    6.04800000000294e-05 × 6371000     		dl = 385.318080000187m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88812316--0.88818364) × R
    6.04800000000294e-05 × 6371000     		dr = 385.318080000187m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52999036--0.52989449) × cos(-0.88812316) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.630869356495553 × 6371000     		do = 385.327287415246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52999036--0.52989449) × cos(-0.88818364) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.630822429570585 × 6371000     		du = 385.298625023391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88812316)-sin(-0.88818364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630869356495553-0.630822429570585)×R²
    abs(-0.52989449--0.52999036)×4.6926924968882e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.6926924968882e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.6926924968882e-05×40589641000000     		ar = 148468.048534624m²