Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27240 / 25302
↖ ↑ ↗
← S 69.496070°
E119.267578°		 ← 427.91 m → S 69.496070°
E119.278565°		 →
↑
427.88 m
↓
↑
427.88 m
↓
S 69.499918°
E119.267578°		 ← 427.83 m →
183 074 m²		 S 69.499918°
E119.278565°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831314086914062 y=0.772171020507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831314086914062 × 215)
    floor (0.831314086914062 × 32768)
    floor (27240.5)     		tx = 27240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772171020507812 × 215)
    floor (0.772171020507812 × 32768)
    floor (25302.5)     		ty = 25302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27240 / 25302 ti = "15/27240/25302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27240/25302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27240 ÷ 215
    27240 ÷ 32768     		x = 0.831298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25302 ÷ 215
    25302 ÷ 32768     		y = 0.77215576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831298828125 × 2 - 1) × π
    0.66259765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.08161193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77215576171875 × 2 - 1) × π
    -0.5443115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.71000508324664
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08161193} λ = 2.08161193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71000508324664))-π/2
    2×atan(0.180864873234026)-π/2
    2×0.178930542489136-π/2
    0.357861084978272-1.57079632675     		φ = -1.21293524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08161193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.267578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21293524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.496070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27240 KachelY 25302 2.08161193 -1.21293524 119.267578 -69.496070
    Oben rechts KachelX + 1 27241 KachelY 25302 2.08180368 -1.21293524 119.278565 -69.496070
    Unten links KachelX 27240 KachelY + 1 25303 2.08161193 -1.21300240 119.267578 -69.499918
    Unten rechts KachelX + 1 27241 KachelY + 1 25303 2.08180368 -1.21300240 119.278565 -69.499918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21293524--1.21300240) × R
    6.7159999999955e-05 × 6371000     		dl = 427.876359999714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21293524--1.21300240) × R
    6.7159999999955e-05 × 6371000     		dr = 427.876359999714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08161193-2.08180368) × cos(-1.21293524) × R
    0.000191749999999935 × 0.350271626908526 × 6371000     		do = 427.905567592667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08161193-2.08180368) × cos(-1.21300240) × R
    0.000191749999999935 × 0.350208720827783 × 6371000     		du = 427.828719055367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21293524)-sin(-1.21300240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350271626908526-0.350208720827783)×R²
    abs(2.08180368-2.08161193)×6.29060807436077e-05×R²
    0.000191749999999935×6.29060807436077e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.29060807436077e-05×40589641000000     		ar = 183074.23591791m²