Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2724 / 1468
↖ ↑ ↗
← N 81.321592°
W120.146485°		 ← 368.66 m → N 81.321592°
W120.124512°		 →
↑
368.69 m
↓
↑
368.69 m
↓
N 81.318277°
W120.146485°		 ← 368.80 m →
135 948 m²		 N 81.318277°
W120.124512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166290283203125 y=0.089630126953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166290283203125 × 214)
    floor (0.166290283203125 × 16384)
    floor (2724.5)     		tx = 2724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.089630126953125 × 214)
    floor (0.089630126953125 × 16384)
    floor (1468.5)     		ty = 1468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2724 / 1468 ti = "14/2724/1468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2724/1468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2724 ÷ 214
    2724 ÷ 16384     		x = 0.166259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1468 ÷ 214
    1468 ÷ 16384     		y = 0.089599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.166259765625 × 2 - 1) × π
    -0.66748046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.09695174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.089599609375 × 2 - 1) × π
    0.82080078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.57862170436206
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09695174} λ = -2.09695174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57862170436206))-π/2
    2×atan(13.1789611312367)-π/2
    2×1.49506293553759-π/2
    2.99012587107518-1.57079632675     		φ = 1.41932954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09695174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.146485°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41932954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.321592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2724 KachelY 1468 -2.09695174 1.41932954 -120.146485 81.321592
    Oben rechts KachelX + 1 2725 KachelY 1468 -2.09656824 1.41932954 -120.124512 81.321592
    Unten links KachelX 2724 KachelY + 1 1469 -2.09695174 1.41927167 -120.146485 81.318277
    Unten rechts KachelX + 1 2725 KachelY + 1 1469 -2.09656824 1.41927167 -120.124512 81.318277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41932954-1.41927167) × R
    5.78699999997934e-05 × 6371000     		dl = 368.689769998684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41932954-1.41927167) × R
    5.78699999997934e-05 × 6371000     		dr = 368.689769998684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09695174--2.09656824) × cos(1.41932954) × R
    0.000383500000000314 × 0.150888287558526 × 6371000     		do = 368.662108893866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09695174--2.09656824) × cos(1.41927167) × R
    0.000383500000000314 × 0.150945494741818 × 6371000     		du = 368.801881974848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41932954)-sin(1.41927167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150888287558526-0.150945494741818)×R²
    abs(-2.09656824--2.09695174)×5.72071832915522e-05×R²
    0.000383500000000314×5.72071832915522e-05×6371000²
    0.000383500000000314×5.72071832915522e-05×40589641000000     		ar = 135947.714625467m²