Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27237 / 25307
↖ ↑ ↗
← S 69.515303°
E119.234619°		 ← 427.50 m → S 69.515303°
E119.245605°		 →
↑
427.49 m
↓
↑
427.49 m
↓
S 69.519147°
E119.234619°		 ← 427.42 m →
182 737 m²		 S 69.519147°
E119.245605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831222534179688 y=0.772323608398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831222534179688 × 215)
    floor (0.831222534179688 × 32768)
    floor (27237.5)     		tx = 27237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772323608398438 × 215)
    floor (0.772323608398438 × 32768)
    floor (25307.5)     		ty = 25307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27237 / 25307 ti = "15/27237/25307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27237/25307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27237 ÷ 215
    27237 ÷ 32768     		x = 0.831207275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25307 ÷ 215
    25307 ÷ 32768     		y = 0.772308349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831207275390625 × 2 - 1) × π
    0.66241455078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.08103669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772308349609375 × 2 - 1) × π
    -0.54461669921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.71096382123904
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08103669} λ = 2.08103669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71096382123904))-π/2
    2×atan(0.180691554305562)-π/2
    2×0.17876270850367-π/2
    0.35752541700734-1.57079632675     		φ = -1.21327091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08103669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.234619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21327091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.515303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27237 KachelY 25307 2.08103669 -1.21327091 119.234619 -69.515303
    Oben rechts KachelX + 1 27238 KachelY 25307 2.08122843 -1.21327091 119.245605 -69.515303
    Unten links KachelX 27237 KachelY + 1 25308 2.08103669 -1.21333801 119.234619 -69.519147
    Unten rechts KachelX + 1 27238 KachelY + 1 25308 2.08122843 -1.21333801 119.245605 -69.519147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21327091--1.21333801) × R
    6.70999999998756e-05 × 6371000     		dl = 427.494099999207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21327091--1.21333801) × R
    6.70999999998756e-05 × 6371000     		dr = 427.494099999207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08103669-2.08122843) × cos(-1.21327091) × R
    0.000191739999999996 × 0.349957202491144 × 6371000     		do = 427.499158609999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08103669-2.08122843) × cos(-1.21333801) × R
    0.000191739999999996 × 0.349894344725622 × 6371000     		du = 427.422373101138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21327091)-sin(-1.21333801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349957202491144-0.349894344725622)×R²
    abs(2.08122843-2.08103669)×6.28577655221174e-05×R²
    0.000191739999999996×6.28577655221174e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.28577655221174e-05×40589641000000     		ar = 182736.955452865m²