Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27236 / 25317
↖ ↑ ↗
← S 69.553715°
E119.223633°		 ← 426.75 m → S 69.553715°
E119.234619°		 →
↑
426.73 m
↓
↑
426.73 m
↓
S 69.557553°
E119.223633°		 ← 426.68 m →
182 092 m²		 S 69.557553°
E119.234619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831192016601562 y=0.772628784179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831192016601562 × 215)
    floor (0.831192016601562 × 32768)
    floor (27236.5)     		tx = 27236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772628784179688 × 215)
    floor (0.772628784179688 × 32768)
    floor (25317.5)     		ty = 25317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27236 / 25317 ti = "15/27236/25317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27236/25317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27236 ÷ 215
    27236 ÷ 32768     		x = 0.8311767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25317 ÷ 215
    25317 ÷ 32768     		y = 0.772613525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8311767578125 × 2 - 1) × π
    0.662353515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.08084494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772613525390625 × 2 - 1) × π
    -0.54522705078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.71288129722385
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08084494} λ = 2.08084494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71288129722385))-π/2
    2×atan(0.180345414552911)-π/2
    2×0.178427492414891-π/2
    0.356854984829781-1.57079632675     		φ = -1.21394134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08084494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.223633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21394134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.553715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27236 KachelY 25317 2.08084494 -1.21394134 119.223633 -69.553715
    Oben rechts KachelX + 1 27237 KachelY 25317 2.08103669 -1.21394134 119.234619 -69.553715
    Unten links KachelX 27236 KachelY + 1 25318 2.08084494 -1.21400832 119.223633 -69.557553
    Unten rechts KachelX + 1 27237 KachelY + 1 25318 2.08103669 -1.21400832 119.234619 -69.557553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21394134--1.21400832) × R
    6.69799999999388e-05 × 6371000     		dl = 426.72957999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21394134--1.21400832) × R
    6.69799999999388e-05 × 6371000     		dr = 426.72957999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08084494-2.08103669) × cos(-1.21394134) × R
    0.000191749999999935 × 0.349329088068449 × 6371000     		do = 426.754125150979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08084494-2.08103669) × cos(-1.21400832) × R
    0.000191749999999935 × 0.349266327018167 × 6371000     		du = 426.677453788584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21394134)-sin(-1.21400832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349329088068449-0.349266327018167)×R²
    abs(2.08103669-2.08084494)×6.27610502817455e-05×R²
    0.000191749999999935×6.27610502817455e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.27610502817455e-05×40589641000000     		ar = 182092.249687678m²