Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 27236 / 25314
↖ ↑ ↗
← S 69.542199°
E119.223633°		 ← 426.98 m → S 69.542199°
E119.234619°		 →
↑
426.92 m
↓
↑
426.92 m
↓
S 69.546038°
E119.223633°		 ← 426.91 m →
182 272 m²		 S 69.546038°
E119.234619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831192016601562 y=0.772537231445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831192016601562 × 215)
    floor (0.831192016601562 × 32768)
    floor (27236.5)     		tx = 27236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772537231445312 × 215)
    floor (0.772537231445312 × 32768)
    floor (25314.5)     		ty = 25314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27236 / 25314 ti = "15/27236/25314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27236/25314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27236 ÷ 215
    27236 ÷ 32768     		x = 0.8311767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25314 ÷ 215
    25314 ÷ 32768     		y = 0.77252197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8311767578125 × 2 - 1) × π
    0.662353515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.08084494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77252197265625 × 2 - 1) × π
    -0.5450439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.71230605442841
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08084494} λ = 2.08084494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71230605442841))-π/2
    2×atan(0.18044918679758)-π/2
    2×0.178527994017136-π/2
    0.357055988034273-1.57079632675     		φ = -1.21374034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08084494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.223633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21374034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.542199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27236 KachelY 25314 2.08084494 -1.21374034 119.223633 -69.542199
    Oben rechts KachelX + 1 27237 KachelY 25314 2.08103669 -1.21374034 119.234619 -69.542199
    Unten links KachelX 27236 KachelY + 1 25315 2.08084494 -1.21380735 119.223633 -69.546038
    Unten rechts KachelX + 1 27237 KachelY + 1 25315 2.08103669 -1.21380735 119.234619 -69.546038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21374034--1.21380735) × R
    6.70099999999785e-05 × 6371000     		dl = 426.920709999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21374034--1.21380735) × R
    6.70099999999785e-05 × 6371000     		dr = 426.920709999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08084494-2.08103669) × cos(-1.21374034) × R
    0.000191749999999935 × 0.349517418030748 × 6371000     		do = 426.984196424874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08084494-2.08103669) × cos(-1.21380735) × R
    0.000191749999999935 × 0.349454633575723 × 6371000     		du = 426.907496470327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21374034)-sin(-1.21380735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349517418030748-0.349454633575723)×R²
    abs(2.08103669-2.08084494)×6.27844550243895e-05×R²
    0.000191749999999935×6.27844550243895e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.27844550243895e-05×40589641000000     		ar = 182272.023965008m²