Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27235 / 6621
↖ ↑ ↗
← N 80.678228°
W 30.393677°		 ← 98.93 m → N 80.678228°
W 30.388184°		 →
↑
98.94 m
↓
↑
98.94 m
↓
N 80.677339°
W 30.393677°		 ← 98.94 m →
9 789 m²		 N 80.677339°
W 30.388184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415580749511719 y=0.101036071777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415580749511719 × 216)
    floor (0.415580749511719 × 65536)
    floor (27235.5)     		tx = 27235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101036071777344 × 216)
    floor (0.101036071777344 × 65536)
    floor (6621.5)     		ty = 6621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27235 / 6621 ti = "16/27235/6621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27235/6621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27235 ÷ 216
    27235 ÷ 65536     		x = 0.415573120117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6621 ÷ 216
    6621 ÷ 65536     		y = 0.101028442382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415573120117188 × 2 - 1) × π
    -0.168853759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.53046973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101028442382812 × 2 - 1) × π
    0.797943115234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.50681222873122
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53046973} λ = -0.53046973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50681222873122))-π/2
    2×atan(12.2657672122644)-π/2
    2×1.48944852462728-π/2
    2.97889704925456-1.57079632675     		φ = 1.40810072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53046973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.393677°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40810072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.678228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27235 KachelY 6621 -0.53046973 1.40810072 -30.393677 80.678228
    Oben rechts KachelX + 1 27236 KachelY 6621 -0.53037386 1.40810072 -30.388184 80.678228
    Unten links KachelX 27235 KachelY + 1 6622 -0.53046973 1.40808519 -30.393677 80.677339
    Unten rechts KachelX + 1 27236 KachelY + 1 6622 -0.53037386 1.40808519 -30.388184 80.677339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40810072-1.40808519) × R
    1.55299999999858e-05 × 6371000     		dl = 98.9416299999097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40810072-1.40808519) × R
    1.55299999999858e-05 × 6371000     		dr = 98.9416299999097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53046973--0.53037386) × cos(1.40810072) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.161978801138333 × 6371000     		do = 98.9346707345537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53046973--0.53037386) × cos(1.40808519) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.161994126033314 × 6371000     		du = 98.9440309929848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40810072)-sin(1.40808519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161978801138333-0.161994126033314)×R²
    abs(-0.53037386--0.53046973)×1.53248949811002e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.53248949811002e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.53248949811002e-05×40589641000000     		ar = 9789.2206456066m²