Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27233 / 6625
↖ ↑ ↗
← N 80.674669°
W 30.404663°		 ← 98.98 m → N 80.674669°
W 30.399170°		 →
↑
98.94 m
↓
↑
98.94 m
↓
N 80.673779°
W 30.404663°		 ← 98.99 m →
9 794 m²		 N 80.673779°
W 30.399170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415550231933594 y=0.101097106933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415550231933594 × 216)
    floor (0.415550231933594 × 65536)
    floor (27233.5)     		tx = 27233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101097106933594 × 216)
    floor (0.101097106933594 × 65536)
    floor (6625.5)     		ty = 6625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27233 / 6625 ti = "16/27233/6625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27233/6625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27233 ÷ 216
    27233 ÷ 65536     		x = 0.415542602539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6625 ÷ 216
    6625 ÷ 65536     		y = 0.101089477539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415542602539062 × 2 - 1) × π
    -0.168914794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53066148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101089477539062 × 2 - 1) × π
    0.797821044921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.50642873353426
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53066148} λ = -0.53066148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50642873353426))-π/2
    2×atan(12.2610642512905)-π/2
    2×1.48941745970405-π/2
    2.9788349194081-1.57079632675     		φ = 1.40803859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53066148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.404663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40803859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.674669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27233 KachelY 6625 -0.53066148 1.40803859 -30.404663 80.674669
    Oben rechts KachelX + 1 27234 KachelY 6625 -0.53056560 1.40803859 -30.399170 80.674669
    Unten links KachelX 27233 KachelY + 1 6626 -0.53066148 1.40802306 -30.404663 80.673779
    Unten rechts KachelX + 1 27234 KachelY + 1 6626 -0.53056560 1.40802306 -30.399170 80.673779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40803859-1.40802306) × R
    1.55299999999858e-05 × 6371000     		dl = 98.9416299999097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40803859-1.40802306) × R
    1.55299999999858e-05 × 6371000     		dr = 98.9416299999097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53066148--0.53056560) × cos(1.40803859) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.162040110351665 × 6371000     		do = 98.9824412277276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53066148--0.53056560) × cos(1.40802306) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.162055435090319 × 6371000     		du = 98.9918023670151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40803859)-sin(1.40802306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162040110351665-0.162055435090319)×R²
    abs(-0.53056560--0.53066148)×1.53247386541766e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.53247386541766e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.53247386541766e-05×40589641000000     		ar = 9793.94717987922m²