Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27232 / 43552
↖ ↑ ↗
← S 50.847573°
W 30.410156°		 ← 385.64 m → S 50.847573°
W 30.404663°		 →
↑
385.70 m
↓
↑
385.70 m
↓
S 50.851041°
W 30.410156°		 ← 385.61 m →
148 737 m²		 S 50.851041°
W 30.404663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415534973144531 y=0.664558410644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415534973144531 × 216)
    floor (0.415534973144531 × 65536)
    floor (27232.5)     		tx = 27232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664558410644531 × 216)
    floor (0.664558410644531 × 65536)
    floor (43552.5)     		ty = 43552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27232 / 43552 ti = "16/27232/43552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27232/43552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27232 ÷ 216
    27232 ÷ 65536     		x = 0.41552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43552 ÷ 216
    43552 ÷ 65536     		y = 0.66455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41552734375 × 2 - 1) × π
    -0.1689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.53075735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66455078125 × 2 - 1) × π
    -0.3291015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.03390305100537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53075735} λ = -0.53075735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03390305100537))-π/2
    2×atan(0.355616259945978)-π/2
    2×0.341669381062138-π/2
    0.683338762124276-1.57079632675     		φ = -0.88745756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53075735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.410156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88745756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.847573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27232 KachelY 43552 -0.53075735 -0.88745756 -30.410156 -50.847573
    Oben rechts KachelX + 1 27233 KachelY 43552 -0.53066148 -0.88745756 -30.404663 -50.847573
    Unten links KachelX 27232 KachelY + 1 43553 -0.53075735 -0.88751810 -30.410156 -50.851041
    Unten rechts KachelX + 1 27233 KachelY + 1 43553 -0.53066148 -0.88751810 -30.404663 -50.851041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88745756--0.88751810) × R
    6.05399999999978e-05 × 6371000     		dl = 385.700339999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88745756--0.88751810) × R
    6.05399999999978e-05 × 6371000     		dr = 385.700339999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53075735--0.53066148) × cos(-0.88745756) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.6313856484801 × 6371000     		do = 385.642632245155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53075735--0.53066148) × cos(-0.88751810) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.631338700430101 × 6371000     		du = 385.613956950391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88745756)-sin(-0.88751810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6313856484801-0.631338700430101)×R²
    abs(-0.53066148--0.53075735)×4.69480499984964e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69480499984964e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69480499984964e-05×40589641000000     		ar = 148736.964385206m²