Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27231 / 25311
↖ ↑ ↗
← S 69.530676°
E119.168701°		 ← 427.21 m → S 69.530676°
E119.179688°		 →
↑
427.18 m
↓
↑
427.18 m
↓
S 69.534518°
E119.168701°		 ← 427.14 m →
182 479 m²		 S 69.534518°
E119.179688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831039428710938 y=0.772445678710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831039428710938 × 215)
    floor (0.831039428710938 × 32768)
    floor (27231.5)     		tx = 27231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772445678710938 × 215)
    floor (0.772445678710938 × 32768)
    floor (25311.5)     		ty = 25311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27231 / 25311 ti = "15/27231/25311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27231/25311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27231 ÷ 215
    27231 ÷ 32768     		x = 0.831024169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25311 ÷ 215
    25311 ÷ 32768     		y = 0.772430419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831024169921875 × 2 - 1) × π
    0.66204833984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.07988620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772430419921875 × 2 - 1) × π
    -0.54486083984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.71173081163297
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07988620} λ = 2.07988620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71173081163297))-π/2
    2×atan(0.180553018753657)-π/2
    2×0.178628549800541-π/2
    0.357257099601082-1.57079632675     		φ = -1.21353923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07988620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.168701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21353923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.530676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27231 KachelY 25311 2.07988620 -1.21353923 119.168701 -69.530676
    Oben rechts KachelX + 1 27232 KachelY 25311 2.08007795 -1.21353923 119.179688 -69.530676
    Unten links KachelX 27231 KachelY + 1 25312 2.07988620 -1.21360628 119.168701 -69.534518
    Unten rechts KachelX + 1 27232 KachelY + 1 25312 2.08007795 -1.21360628 119.179688 -69.534518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21353923--1.21360628) × R
    6.70499999999574e-05 × 6371000     		dl = 427.175549999729m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21353923--1.21360628) × R
    6.70499999999574e-05 × 6371000     		dr = 427.175549999729m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07988620-2.08007795) × cos(-1.21353923) × R
    0.000191750000000379 × 0.349705836926746 × 6371000     		do = 427.214376344657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07988620-2.08007795) × cos(-1.21360628) × R
    0.000191750000000379 × 0.349643019707478 × 6371000     		du = 427.137636364024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21353923)-sin(-1.21360628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349705836926746-0.349643019707478)×R²
    abs(2.08007795-2.07988620)×6.28172192676524e-05×R²
    0.000191750000000379×6.28172192676524e-05×6371000²
    0.000191750000000379×6.28172192676524e-05×40589641000000     		ar = 182479.145529587m²