Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27230 / 6502
↖ ↑ ↗
← N 80.783518°
W 30.421143°		 ← 97.83 m → N 80.783518°
W 30.415650°		 →
↑
97.86 m
↓
↑
97.86 m
↓
N 80.782638°
W 30.421143°		 ← 97.84 m →
9 574 m²		 N 80.782638°
W 30.415650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415504455566406 y=0.0992202758789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415504455566406 × 216)
    floor (0.415504455566406 × 65536)
    floor (27230.5)     		tx = 27230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0992202758789062 × 216)
    floor (0.0992202758789062 × 65536)
    floor (6502.5)     		ty = 6502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27230 / 6502 ti = "16/27230/6502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27230/6502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27230 ÷ 216
    27230 ÷ 65536     		x = 0.415496826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6502 ÷ 216
    6502 ÷ 65536     		y = 0.099212646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415496826171875 × 2 - 1) × π
    -0.16900634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.53094910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.099212646484375 × 2 - 1) × π
    0.80157470703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.51822121084079
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53094910} λ = -0.53094910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51822121084079))-π/2
    2×atan(12.4065084615194)-π/2
    2×1.49036734880175-π/2
    2.9807346976035-1.57079632675     		φ = 1.40993837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53094910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.421143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40993837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.783518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27230 KachelY 6502 -0.53094910 1.40993837 -30.421143 80.783518
    Oben rechts KachelX + 1 27231 KachelY 6502 -0.53085323 1.40993837 -30.415650 80.783518
    Unten links KachelX 27230 KachelY + 1 6503 -0.53094910 1.40992301 -30.421143 80.782638
    Unten rechts KachelX + 1 27231 KachelY + 1 6503 -0.53085323 1.40992301 -30.415650 80.782638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40993837-1.40992301) × R
    1.53600000001308e-05 × 6371000     		dl = 97.8585600008335m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40993837-1.40992301) × R
    1.53600000001308e-05 × 6371000     		dr = 97.8585600008335m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53094910--0.53085323) × cos(1.40993837) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160165146229959 × 6371000     		do = 97.8269124975187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53094910--0.53085323) × cos(1.40992301) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160180307917027 × 6371000     		du = 97.8361730705522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40993837)-sin(1.40992301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160165146229959-0.160180307917027)×R²
    abs(-0.53085323--0.53094910)×1.51616870678328e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51616870678328e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51616870678328e-05×40589641000000     		ar = 9573.65389970645m²