Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2723 / 1444
↖ ↑ ↗
← N 81.400802°
W120.168457°		 ← 365.31 m → N 81.400802°
W120.146485°		 →
↑
365.38 m
↓
↑
365.38 m
↓
N 81.397516°
W120.168457°		 ← 365.45 m →
133 502 m²		 N 81.397516°
W120.146485°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166229248046875 y=0.088165283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166229248046875 × 214)
    floor (0.166229248046875 × 16384)
    floor (2723.5)     		tx = 2723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.088165283203125 × 214)
    floor (0.088165283203125 × 16384)
    floor (1444.5)     		ty = 1444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2723 / 1444 ti = "14/2723/1444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2723/1444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2723 ÷ 214
    2723 ÷ 16384     		x = 0.16619873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1444 ÷ 214
    1444 ÷ 16384     		y = 0.088134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16619873046875 × 2 - 1) × π
    -0.6676025390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.09733523
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.088134765625 × 2 - 1) × π
    0.82373046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.58782558908911
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09733523} λ = -2.09733523}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58782558908911))-π/2
    2×atan(13.3008186915532)-π/2
    2×1.4957541651516-π/2
    2.9915083303032-1.57079632675     		φ = 1.42071200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09733523} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.168457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42071200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.400802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2723 KachelY 1444 -2.09733523 1.42071200 -120.168457 81.400802
    Oben rechts KachelX + 1 2724 KachelY 1444 -2.09695174 1.42071200 -120.146485 81.400802
    Unten links KachelX 2723 KachelY + 1 1445 -2.09733523 1.42065465 -120.168457 81.397516
    Unten rechts KachelX + 1 2724 KachelY + 1 1445 -2.09695174 1.42065465 -120.146485 81.397516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42071200-1.42065465) × R
    5.73500000000671e-05 × 6371000     		dl = 365.376850000427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42071200-1.42065465) × R
    5.73500000000671e-05 × 6371000     		dr = 365.376850000427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09733523--2.09695174) × cos(1.42071200) × R
    0.000383489999999931 × 0.149521511838061 × 6371000     		do = 365.313169145846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09733523--2.09695174) × cos(1.42065465) × R
    0.000383489999999931 × 0.149578216890555 × 6371000     		du = 365.451711768765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42071200)-sin(1.42065465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149521511838061-0.149578216890555)×R²
    abs(-2.09695174--2.09733523)×5.67050524932222e-05×R²
    0.000383489999999931×5.67050524932222e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.67050524932222e-05×40589641000000     		ar = 133502.285176275m²