Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27229 / 7629
↖ ↑ ↗
← N 79.737217°
W 30.426636°		 ← 108.82 m → N 79.737217°
W 30.421143°		 →
↑
108.82 m
↓
↑
108.82 m
↓
N 79.736238°
W 30.426636°		 ← 108.83 m →
11 842 m²		 N 79.736238°
W 30.421143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415489196777344 y=0.116416931152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415489196777344 × 216)
    floor (0.415489196777344 × 65536)
    floor (27229.5)     		tx = 27229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116416931152344 × 216)
    floor (0.116416931152344 × 65536)
    floor (7629.5)     		ty = 7629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27229 / 7629 ti = "16/27229/7629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27229/7629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27229 ÷ 216
    27229 ÷ 65536     		x = 0.415481567382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7629 ÷ 216
    7629 ÷ 65536     		y = 0.116409301757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415481567382812 × 2 - 1) × π
    -0.169036865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.53104497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116409301757812 × 2 - 1) × π
    0.767181396484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.41017143909718
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53104497} λ = -0.53104497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41017143909718))-π/2
    2×atan(11.1358701049426)-π/2
    2×1.48123665030666-π/2
    2.96247330061332-1.57079632675     		φ = 1.39167697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53104497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.426636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39167697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.737217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27229 KachelY 7629 -0.53104497 1.39167697 -30.426636 79.737217
    Oben rechts KachelX + 1 27230 KachelY 7629 -0.53094910 1.39167697 -30.421143 79.737217
    Unten links KachelX 27229 KachelY + 1 7630 -0.53104497 1.39165989 -30.426636 79.736238
    Unten rechts KachelX + 1 27230 KachelY + 1 7630 -0.53094910 1.39165989 -30.421143 79.736238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39167697-1.39165989) × R
    1.70800000001137e-05 × 6371000     		dl = 108.816680000724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39167697-1.39165989) × R
    1.70800000001137e-05 × 6371000     		dr = 108.816680000724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53104497--0.53094910) × cos(1.39167697) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178163088853258 × 6371000     		do = 108.819835736991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53104497--0.53094910) × cos(1.39165989) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178179895563879 × 6371000     		du = 108.830101070292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39167697)-sin(1.39165989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178163088853258-0.178179895563879)×R²
    abs(-0.53094910--0.53104497)×1.68067106212089e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.68067106212089e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.68067106212089e-05×40589641000000     		ar = 11841.9717633172m²