Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27229 / 7628
↖ ↑ ↗
← N 79.738195°
W 30.426636°		 ← 108.81 m → N 79.738195°
W 30.421143°		 →
↑
108.82 m
↓
↑
108.82 m
↓
N 79.737217°
W 30.426636°		 ← 108.82 m →
11 841 m²		 N 79.737217°
W 30.421143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415489196777344 y=0.116401672363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415489196777344 × 216)
    floor (0.415489196777344 × 65536)
    floor (27229.5)     		tx = 27229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116401672363281 × 216)
    floor (0.116401672363281 × 65536)
    floor (7628.5)     		ty = 7628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27229 / 7628 ti = "16/27229/7628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27229/7628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27229 ÷ 216
    27229 ÷ 65536     		x = 0.415481567382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7628 ÷ 216
    7628 ÷ 65536     		y = 0.11639404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415481567382812 × 2 - 1) × π
    -0.169036865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.53104497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11639404296875 × 2 - 1) × π
    0.7672119140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.41026731289642
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53104497} λ = -0.53104497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41026731289642))-π/2
    2×atan(11.1369377942983)-π/2
    2×1.48124519048974-π/2
    2.96249038097948-1.57079632675     		φ = 1.39169405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53104497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.426636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39169405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.738195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27229 KachelY 7628 -0.53104497 1.39169405 -30.426636 79.738195
    Oben rechts KachelX + 1 27230 KachelY 7628 -0.53094910 1.39169405 -30.421143 79.738195
    Unten links KachelX 27229 KachelY + 1 7629 -0.53104497 1.39167697 -30.426636 79.737217
    Unten rechts KachelX + 1 27230 KachelY + 1 7629 -0.53094910 1.39167697 -30.421143 79.737217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39169405-1.39167697) × R
    1.70799999998916e-05 × 6371000     		dl = 108.81667999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39169405-1.39167697) × R
    1.70799999998916e-05 × 6371000     		dr = 108.81667999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53104497--0.53094910) × cos(1.39169405) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178146282090662 × 6371000     		do = 108.809570371944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53104497--0.53094910) × cos(1.39167697) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178163088853258 × 6371000     		du = 108.819835736991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39169405)-sin(1.39167697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178146282090662-0.178163088853258)×R²
    abs(-0.53094910--0.53104497)×1.68067625958279e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.68067625958279e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.68067625958279e-05×40589641000000     		ar = 11840.8547217393m²